Fundamentos Téoricos

• Impulso
• Quantidade de movimento
• Relação entre impulso e quantidade de movimento
• Conservação da quantidade de movimento

Experimento 10 - Impulso e Quantidade de Movimento: Fundamentos Teóricos

Impulso
 

Você sabe o que acontece quando a bola de futebol fica em contato com o pé do jogador (fig. 10.1)? Vai ser aplicada uma força, F, em um pequeno intervalo de tempo t (na ordem de centésimos de segundos), tal que esta força vai direcionar a bola para onde o jogador quiser. O impulso desta força é o produto da força, F, multiplicada pelo intervalo de tempo, t. Observe que o impulso é uma grandeza vetorial porque vai ser dada direção e sentido para a bola, através da força aplicada. Notação: I  impulso Expressão: I = Ft                                     10.1

Figura 10.1 - Interação da bola  com o pé do jogador

Observe que o vetor impulso, I, tem a mesma direção e sentido do vetor força, F.

Unidade de medida - Impulso - Sistema Internacional

U (I) = U (F) U (t) = 1 Newton segundo (1 N s)

No nosso exemplo, considerando que o tempo de contato é da ordem de 0,01s e a força exercida pelo pé do jogador na bola seja 2000 N, temos que o impulso é:

I = F t = 2000 0,01 = 20,0 N s

Quantidade de Movimento

Quando a bola de futebol, de massa m, sai do pé do jogador, ela adquire uma velocidade V. Neste caso, dizemos que a bola adquiriu uma quantidade de movimento. A quantidade de movimento é definida como sendo o produto da massa da bola pela velocidade adquirida. É também vetorial porque é o produto de uma grandeza escalar (massa) por uma grandeza vetorial (velocidade).

Notação: Q  quantidade de movimento

Expressão: Q = m V                               10.2

Observe que o vetor quantidade de movimento, Q, tem a mesma direção e sentido do vetor velocidade, V.

Unidade - Quantidade de Movimento - Sistema Internacional

U (Q) = U (m) U (V) = 1 quilograma metro/segundo (1 kg m/s)

Exemplo: A bola de futebol tem uma massa de 0,4 kg e a velocidade que adquire após o chute foi de 40 m/s. A quantidade de movimento da bola é:

Q = m V = 0,4 40 = 16,0 kg m/s

Relação entre impulso e quantidade de movimento

Vimos que o impulso é dado por:

I = F t                                                 10.3

A força F vai imprimir uma aceleração à bola, a, fazendo que a sua velocidade altere de um valor inicial V₁, para um valor V₂.
A força F é calculada pela 2^a Lei de Newton:

F = m a                                   10.4

Substituindo 10.4 em 10.3, temos:

I = m a t                                     10.5

Como a = V / t , substituindo na expressão 10.5:

I = m (V / t) / t = m V = m (V ₂- V₁) = m V ₂- m V₁

Como Q = m V (10.2), substituindo, obtemos que:

I = Q ₂- Q₁                                                            10.6

A equação 10.5 mostra que o impulso, exercido por uma força ou por uma resultante de forças, em um intervalo de tempo, é igual à variação da quantidade de movimento.

Conservação da Quantidade de Movimento

Você já deve ter visto em colisões de curta duração como por exemplo com bolas em um jogo de bilhar, dependendo da direção e sentido do impulso que for dado à bola com taco, após o choque com uma bola de bilhar em repouso na mesa, as bolas podem se movimentar em quaisquer direções e sentidos.

Vamos analisar o caso mais simples em que bolas de massas diferentes, movimentando-se na em sentidos opostos (fig. 10.2a), após a colisão, se movimentam na mesma direção e mesmo sentido (fig. 10.2b).
 

Consideremos como dados:

m_A = 4 kg
m_B= 2 kg
Medindo os valores das velocidades antes e depois da colisão, foram obtidos os seguintes valores experimentalmente:

	Bola A	Bola B
Antes da colisão	V 1A = 6 m/s	V1B = 4 m/s
Depois da colisão	V 2A = 1 m/s	V2B = 6 m/s

Calculando a quantidade de movimento antes da colisão:

Q₁ = m_A V _1A- m_BV_1B=4 x 6 - 2 x 4 = 24 - 8 = 16 kg m/s

Observe que como os vetores quantidades de movimentos têm sentidos contrários foi realizada a diferença entre os módulos dos dois vetores.

Calculando a quantidade de movimento depois da colisão:

Q₂ = m_AV _2A+m_BV_2B = 4 x 1 + 2 x 6 = 16 kg m/s

Chegamos à conclusão que:

Q₁ = Q₂

ou seja, as quantidades de movimento se conservam.

Por quê?

Quando houve a colisão das bolas, considerando que o sistema seja isolado de forças externas (forças externas nulas), ou se
a resultante das forças externas fôr nula, o impulso é nulo:
Considerando a expressão 10.6:

I = Q₁ + Q₂

Como pela expressão 10.3:

I = F t = 0 x t = 0

onde F é a resultante das forças externas.

Substituindo, obtemos:

Q₁ + Q₂ = 0

que é o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento:

"É constante a quantidade de movimento de um sistema quando a resultante das forças externas for nula".

Q_inicial = Q_final                                     10.7

sendo as quantidades de movimento grandezas vetoriais.

Vamos ver se você entendeu.

Considere um carro pequeno com massa 500 kg com velocidade de 20 m/s e um caminhão com massa 3000 kg com velocidade também de 20 m/s, que estão se movimentando em sentidos contrários (10.3). Em um determinado instante, eles colidem frontalmente. Pergunto: o carro exerce força maior sobre o caminhão ou vice-versa?

Figura 10.3 - Carro e caminhão se movimentando em sentidos contrários, mesma direção e com velocidades iguais

Se você respondeu que o caminhão exerceu maior força sobre o carro, errou! Porque as forças são iguais em módulo e atuam em corpos diferentes (3^a Lei de Newton).

Mas você pode perguntar: por quê o carro ficou mais danificado que o caminhão? Para você ter a resposta calcule a quantidade de movimento antes do choque. Você vai verificar que a quantidade de movimento do caminhão antes do choque é maior que a quantidade de movimento do carro, provocando maior estrago no carro. Entendeu?

Temos outras situações em que a conservação da quantidade de movimento se conserva:

• Na distensão ou compressão de uma mola existente entre dois blocos.

Quando a mola é deformada, ao aplicarmos a força externa F (força de tração T no exemplo), temos que vai aparecer uma força na mola que atua no sentido contrário ao da força aplicada F, intrínseca à mola denominada força elástica, F_el. Quando é retirada a força externa F, é a força elástica F_el que faz com que a mola volte para sua posição inicial. Neste caso vale o princípio da conservação da quantidade de movimento porque a resultante das forças externa é nula (fig. 10.4).

Figura 10.4 - Dois blocos A e B ligados por uma mola

Inicialmente o sistema está em repouso, portanto a quantidade de movimento incial é nula:

Q_inicial = 0

Quando é retirada a força externa F, o bloco A se desloca com com V_A e o bloco B com velocidade V_B. A quantidade de movimento final é:

Q_final = m _A V_A - m _B V_B
 

Q_inicial = Q_final

0 = m _A V_A - m _B V_B

m _A V_A = m _B V_B

• Em um jogo de bilhar, a quantidade de movimento também se conserva.

Aplicando o princípio da conservação da quantidade de movimento, na direção  x, temos:

Q_inicialx = Q_finalx

m _A V_1Ax =  m _B V_{2B x}+  m _A V_2Ax

m _A V_1A =  m _B V_2B cos  _B+  m _A V_2A cos  _A

Na direção y, temos:

Q _(inicial)y = Q_(final)y

0 =  m _B V_2By - m _A V_2Ay

0 =  m _B V_2Bsen  _B - m _A V_2A sen  _A

Experimento 10 - Impulso e Quantidade de Movimento: Procedimento Experimental

Objetivo

• Verificar experimentalmente o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento em choque frontal e choque bi-dimensional

• Nivele a mesa de vidro fazendo com que os pucks fiquem em repouso na parte central da mesa. Permaneça um puck em repouso e no outro dê um pequeno impulso,  tal que após choque os dois pucks se movimentem na mesma direção e em sentidos contrários (choque frontal). Observe como ficou o enquadramento do movimento com o padrão de medida. Procure utilizar um fundo homogêneo e preto.
• Faça a filmagem dos pucks antes e após a colisão.
• Repita o procedimento fazendo com que os pucks, antes e depois do choque, se movimentem em direções diferentes.
• Para fazer a captura da imagem, acelere o hardware do computador. Faça a captura da imagem conforme instruções do manual SAM.
• Faça o tratamento das imagens utilizando o VídeoFramer, por exemplo, acompanhando as instruções. Salve a imagens com extensão avi. 
• Em seguida desacelere o hardware do computador, para poder abrir as imagens no SAM.
• Abra as imagens no software SAM para fazer as medidas dos espaços nas direções de x e y e do tempo (t).

• Faça a calibração, ajustando a relação "pixels/cm", abrindo a janela "Calibração" conforme instruções.
• Com a ferramenta "Marcador", assinale as posições do puck antes e após o choque,a cada três quadros, por exemplo (fig. 10.6).

Figura 10.6 - Choque frontal de dois pucks. Posições assinaladas a cada 3 quadros.

• Com a ferramenta "Régua", faça as medidas dos espaços, x , com a janela "Posição" aberta.Considere os espaços iniciais, x₀, antes e depois do choque,  iguais a 0,0 cm. Coloque os na tabela 4.1.
• Se a captura da imagem foi realizada a uma razão de 30 quadros/s, o intervalo de tempo entre duas posições sucessivas (de um quadro para outro) é igual a 1/30 = 0,033s. Verifique no próprio SAM, clicando no botão "Avança" quadro a quadro e conferindo as informações na janela "Posição".
• Tendo marcado as posições do puck a cada três intervalos, o tempo entre as posições 1 e 2 por exemplo é igual a 3 x 1/30 = 3/30 = 1/10 = 0,1s; entre as posições 1 e 3 é 0,2s e assim sucessivamente. Coloque estes valores dos instantes (t) na tabela 4.1.
• Complete a tabela 4.1, calculando os intervalos de tempo (t), calculando as correspondentes variações de espaço (x) e o valores de V_x = x / t, antes e depois do choque.
• Calcule os valores médio das velocidades de cada puck, antes e depois do choque.
• Sendo as massas dos dois pucks iguais a m, calcule as quantidades de movimento antes e depois do choque.

• Faça a calibração, ajustando a relação "pixels/cm", abrindo a janela "Calibração" conforme instruções.
• Com a ferramenta "Marcador", assinale as posições do puck antes e após o choque,a cada três quadros, por exemplo (fig. 10.7).

Figura 10.7 - Choque bi-dimensional de dois pucks. Posições assinaladas a cada 3 quadros.

• Com a ferramenta "Régua", e "Transferidor",trace o sistema de eixos cartesianos, antes do choque, e depois do choque, tal que a origem do sistema coincida com a origem do movimento, antes e depois do choque como mostra a fig. 10.7.
• Posicione o cursor sobre a posição 1, e mantendo pressionado o botão esquerdo, arraste o cursor perpendicularmente aos eixos x ou y, sendo exibida uma linha entre a posição inicial e final e solte o botão. Leia o valor do espaço (x) ou y percorrido indicado na janela Posição - "Posição Espacial/Distância" e coloque os valores de x na tabela 4.1 e os de y na tabela 4.2.
• Se a captura da imagem foi realizada a uma razão de 30 quadros/s, o intervalo de tempo entre duas posições sucessivas (de um quadro para outro) é igual a 1/30 = 0,033s. Verifique no próprio SAM, clicando no botão "Avança" quadro a quadro e conferindo as informações na janela "Posição".
• Tendo marcado as posições do puck a cada três intervalos, o tempo entre as posições 1 e 2 por exemplo é igual a 3 x 1/30 = 3/30 = 1/10 = 0,1s; entre as posições 1 e 3 é 0,2s e assim sucessivamente. Coloque estes valores dos instantes (t) na tabela 4.1 e 4.2
• Complete as tabelas 4.1 e 4.2, calculando os intervalos de tempo (t), calculando as correspondentes variações de espaço (x) e (y)  e o valores de V_x = x / t, V_y = y / t antes e depois do choque.
• Calcule os valores médio das velocidades V_x e V_yde cada puck, antes e depois do choque para cada puck.
• Sendo as massas dos dois pucks iguais a m, calcule as quantidades de movimento antes e depois do choque, nas direções x e y.

Responda à seguinte questão:

• As quantidades de movimento foram conservadas nas direções x e y?