Experimento 3 - Movimento de Projéteis
Experimento 3 - Movimento de Projéteis: Fundamentos Teóricos
Iria Müller Guerrini
Você já observou que quando um jogador de futebol chuta a bola com um determinado ângulo com a horizontal, a bola descreve no ar uma trajetória que é uma parábola? (Fig. 3.1).

Figura 3.1 - Lançamento de projéteis.

O que acontece com a velocidade inicial da bola?

Quando a bola está subindo, a sua velocidade inicial vai diminuindo até atingir um valor mínimo no ponto mais alto da trajetória (vértice da parábola) e vai aumentando quando está descendo até atingir o solo (alcance da bola).

Por que a velocidade da bola tem esta variação?

Você sabe que para que haja variação da velocidade, precisa haver forças atuando; desprezando a resistência do ar, a força que está atuando na bola é a força peso.
A força peso atua na vertical de cima para baixo, comunicando à bola uma aceleração denominada aceleração da gravidade. Esta aceleração, para corpos próximos à superfície da Terra, vale aproximadamente 9,8 m/s2.

Quando a bola está subindo, a força peso, sendo para baixo, faz com que a velocidade diminua (movimento retardado) e quando a bola está descendo, a força peso, atuando no mesmo sentido, faz com que a velocidade aumente (movimento acelerado).

Princípio da Independência dos Movimentos (Galileu)

O movimento da bola é um movimento bidimensional, sendo realizado nas direções horizontal (X) e vertical (Y); este movimento é composto de dois tipos movimentos:

- movimento uniforme na direção horizontal (X)

- movimento uniformemente variado na direção vertical (Y)

Galileu já sabia disto no século XVI, e baseando-se em fatos experimentais, enunciou o Princípio da Independência dos Movimentos, que diz o seguinte:
"Quando um móvel realiza um movimento composto cada um dos movimentos componentes se realiza como se os demais não existissem."
No nosso caso este princípio se aplica, porque o movimento na direção horizontal se realiza uniformemente, independente do movimento na vertical que é uniformemente variado.

Análise vetorial / Movimento de projéteis

A fig. 3.2 mostra a trajetória da bola de futebol (mostrada na fig. 3.1). Foram traçados os vetores velocidade, V0, V1, V2, V3, V4, V5 e V6, que são tangentes a cada ponto da trajetória. Na figura também está indicado o alcance, A, e a altura máxima da bola, H. 


Figura 3.2 - Trajetória de um projétil (a bola de futebol), mostrando

os vetores velocidade e suas componentes vetoriais.

Estes vetores velocidade apresentam as componentes, Vx e Vy, para cada posição, nas direções X e Y (fig. 2).
Como na direção X o movimento é uniforme, o valor da componente Vx será constante, ou seja, V1x= V2x = --- = Vnx= Vx.

Na direção Y o movimento é uniformemente variado, portanto cada componente Vy terá um valor. Observe que, vetorialmente, o valor de Vy diminui na subida, anula-se no vértice da parábola (altura máxima) e aumenta na descida.
A bola foi lançada a partir de O (origem), fazendo um ângulo  com a horizontal (fig. 3). Para determinar as componentes Vx e V0y, sendo conhecidos o ângulo  e a velocidade V0, basta projetar o vetor V0 nas duas direções X e Y, obtendo:
Vx = V0 cos
(3.1a)

V0y = V0 sen
(3.1b)

V1y = V1 sen1
(3.1c)

E analogamente determina-se V2y, V3y, ... 

O vetor resultante V (fig. 3) é dado pela soma dos dois vetores Vx e Vy:
V = Vx +Vy
(3.2)

Pode-se determinar o módulo do vetor velocidade, V, para cada posição, sendo conhecidos os módulos das componentes, Vx e Vy (fig. 3.3), obtendo:
 
V2 = V2x + V2y
(3.3)

Figura 3.3 - Vetor velocidade V e as componentes Vx e Vy.

Determinação da aceleração da gravidade

 
Figuras 3.4A e 3.4B - Diferença entre os dois vetores velocidade para duas posições sucessivas.
      (A) Método do paralelogramo; (B) Método da triangulação.

Considerando os vetores velocidade da fig. 3.2 (trajetória do projétil), V0 e V1, por exemplo, e colocando as origens destes vetores coincidentes (fig. 3.4A) ou colocando a origem do vetor oposto, -V0, coincidente com a extremidade do vetor V1 (fig. 3.4B), obtém-se a diferença entre dois vetores velocidade (V) para duas posições sucessivas. Fazendo o mesmo procedimento para todas as posições, para intervalos de tempo iguais, observa-se que esta diferença de velocidade é constante, para quaisquer duas posições, ou seja, a aceleração é constante:
aV/t = constante = - g
(3.4)

a = - g
(3.5)

Onde g é a aceleração da gravidade. O sinal para g é considerado negativo porque a trajetória é orientada positiva para cima e o vetor g atua para baixo.

Equações / Projéteis
Até agora você aprendeu a analisar qualitativa e vetorialmente o lançamento de projéteis. 


Que tal você agora aprender a calcular, por exemplo, o valor da velocidade inicial (V0) com que a bola deve ser chutada, sabendo que o ângulo que a bola faz inicialmente com a horizontal é de 45o, para que a bola atinja a linha de gol situada a 80m?

Para isto você tem que aprender as equações do movimento.

Vamos fazer uma análise quantitativa do movimento na horizontal e do movimento na vertical.

Movimento vertical (MUV) / Projéteis

Equação da velocidade / Equação horária
O movimento na vertical, sendo uniformemente variado, são válidas as equações horária e da velocidade do MUV para o lançamento de projéteis, fazendo a = -g nestas equações, obtém-se:
 
Vy = V0y - gt
(3.6)

De (2b) vimos que: 

V0y = V0 sen

Substituindo em (3.6):
Vy = V0 sen  - gt 

Equação da velocidade

(3.7)

A equação horária é obtida de forma análoga, resultando:
y = V0 (sen ) t - (gt2)/2 

Equação horária / vertical

(3.8)

Altura máxima

Qual a altura máxima (H) que a bola atinge?

Quando a bola atinge a altura máxima, a componente vertical da velocidade Vy é nula. Substituindo na equação (7), Vy = 0, e resolvendo a equação para t:
t = (V0 sen )/g 

Tempo que a bola leva para atingir a altura máxima

(9)

Substituindo t na equação (8), fazendo as simplificações algébricas e substituindo y = H, obtém-se:
H = (V02 sen2)/2g 

Altura máxima

(10)


Movimento horizontal (MU) / Projéteis

Equação horária

O movimento na horizontal, sendo uniforme, a equação horária para o MU é:

x = Vx t

Sendo Vx = V0 cos  (constante no movimento), substituindo na equação acima:
 
x = V0 (cos ) t 

Equação horária / Movimento horizontal

(3.11)

Alcance

Veja que ainda não resolvemos nosso problema, calcular o valor de V0, porque ainda não sabemos o tempo que a bola leva para atingir o solo.

Como a aceleração é constante, o tempo de subida é igual ao tempo de descida, duplicando o valor de t na equação (3.9) obtemos o tempo total para a bola atingir o solo:
 
 
ttotal = (2V0 sen )/g 

Tempo que o projétil leva para atingir o chão

(3.12)

Substituindo (3.12) em (3.11), e sabendo que 2 sen  cos = sen 2, obtém-se:
 
A = (V02sen 2)/g 

Alcance do projétil

(3.13)

Aplicação numérica 1

Finalmente podemos calcular a velocidade inicial da bola, para que o jogador faça o gol. Lembre-se de que o ângulo inicial de lançamento é de 45o e a linha de gol está situada a 80m do ponto de lançamento (fig. 3.1).

Dados: A = 80m
= 45o

V0 = ? 
g = 10,0 m/s2

Considerando a equação (3.13):

A = (V02 sen 2)/g 
Substituindo os valores e resolvendo a expressão para V0, obtém-se: 
V0 28,2 m/s

Alcance máximo

Você observou que o ângulo de lançamento, 45o, é o ângulo com o qual a bola atingiu alcance máximo? Por quê ?

Quando você substituiu os valores na equação (3.13) obteve sen 2 = 1, que é o valor máximo da função seno; portanto, o ângulo de lançamento, para se obter o alcance máximo, desprezando a resistência do ar, é igual a 45o.

Substituindo na expressão (13):
 
Amáximo = V02/g 

Alcance máximo do projétil

(3.14)

Equação da trajetória

Estamos afirmando desde o início que a trajetória da bola é parabólica (fig. 1), mas ainda não provamos. Vamos finalizar a nossa análise quantitativa com esta demonstração.

Considerando a equação horária / horizontal (3.11) :

x = V0 (cos ) t

Resolvendo para t:

t = x /(V0 cos )

Substituindo t na equação horária / vertical (8):

y = V0 (sen ) t - (gt2)/2  y = V0 (sen ) x/(V0 cos ) - (gx2)/(2(V0 2 cos2))

Fazendo as simplicações algébricas e sabendo-se que sen  /cos  = tg , obtém-se:
 
y = (tg )x - (gx2)/ (2 (V0 cos )2

Equação da trajetória do projétil

(3.15)

Como  (ângulo de lançamento), V0 e g são constantes, esta equação é da forma

y = bx - cx2, que é a equação de uma parábola.

Conclusão:

A trajetória de um projétil é parabólica.


Experimento 3 - Movimento de Projéteis: Procedimento Experimental 

Objetivos

·Analisar a trajetória de um projétil (fundamentos teóricos-projéteis), considerando:

-O movimento na vertical (Y) e na horizontal (X)

-O tipo de movimento em cada direção.

-Verificar o Princípio da Independência dos Movimentos de Galileu.

Material necessário

·1 bola de ping-pong ou outra qualquer

·Cartolina preta para fazer o padrão de medida (10 cm x 20 cm)

·Filmadora de vídeo

·Computador com placa de captura

·Software “SAM”instalado no computador

·2 folhas de papel milimetrado para fazer os gráficos

Procedimento

Parte I: O valor da aceleração será obtido através dos dados experimentais obtidos nas direções X e Y.
Parte II: O valor da aceleração será obtido graficamente através da uma análise vetorial do movimento e será realizada uma análise quantitativa do movimento. Esta parte é opcional.
Medidas do espaço e do tempo

Figura 3.5: Lançamento de projéteis

Clique aqui apra preencher a tabela 4.1 on-line
Responda às seguintes questões, considerando os resultados obtidos nas tabelas 4.1 e 4.2 e a trajetória da bola.
1) Determine o valor médio da velocidade, considerando os valores obtidos na tabela 4.1.
Valor médio de Vx =
2) Determine o valor médio de ay, considerando os valores obtidos na tabela 4.2.
Valor médio de ay =
3) O movimento na direção x é uniforme? Justifique a resposta, verificando se a velocidade Vx é aproximadamente constante (tab. 4.1).
4) E na direção y, o movimento é uniformemente variado? Justifique a resposta, verificando se a aceleração é aproximadamente constante (tab. 4.2).
5) Faça os gráficos: x versus t, y versus t
6) Analisando os gráficos do item E, as conclusões a que você chega com relação ao tipo de movimento, são as mesmas dos itens C e D?

7) Calcule os módulos do vetor velocidade (V) para cada posição, a partir da origem, considerando os valores das componentes Vx e Vy obtidos nas tabelas 4.1 e 4.2, respectivamente, (adição de dois vetores perpendiculares), colocando estes valores na tabela 4.3.

Clique aqui para preencher a tabela 4.3 on-line

8) Como as velocidades obtidas no item G variam na subida e na descida da bola?
9) Analisando a trajetória da bola, qual o valor da altura máxima e em que instante atingiu esta altura? Qual o alcance e em que instante o atingiu? Estas medidas são obtidas através da própria trajetória da bola (fig. 2 - Projéteis).
 Dê as conclusões e as sugestões para a melhoria do experimento.

Parte II: Análise vetorial (análise vetorial/movimento de projéteis)

Clique aqui para preencher a tabela 4.4 on-line
Análise quantitativa (equações/movimento de projéteis)
A)  Meça o ângulo de lançamento usando o "transferidor virtual".
B) Estabeleça as equações horária e da velocidade para o movimento na horizontal e na vertical, considerando:
-Para 0 valor de V0, o primeiro valor encontrado na tabela 4.3
-Para o valor do ângulo inicial de lançamento, o obtido no item A.
-Para o valor de ay, o valor médio obtido a partir dos valores da tabela 4.2.
C) Determine o alcance e a altura máxima através das equações e compare os valores obtidos com os medidos na trajetória no item I da Parte I.
Meus parabéns se você fez a parte II! Você agora está com um estudo mais completo do movimento de projéteis.