• Fundamentos teóricos
• Procedimento experimental

Conceito de movimento circular uniforme

 Vamos afirmar que: "Um carro estando com a velocidade escalar constante pode ter aceleração". O que você acha?

 Esta afirmativa parece falsa, mas é verdadeira.

 Esta situação acontece quando o carro está se movimentando em uma trajetória circular (fig.4.1A).
 
 

Neste caso o vetor velocidade varia de direção e sentido no decorrer do tempo, podendo o seu módulo permanecer constante ou não.

 Quem provoca esta variação na direção do vetor velocidade?

 Sabemos que para mudar qualquer característica do vetor velocidade é necessária uma força .

 Esta força, denominada força centrípeta, atua na direção do raio da circunferência, buscando o centro, imprimindo ao carro uma aceleração na mesma direção e no mesmo sentido denominada aceleração centrípeta (fig. 4.1B).

 No caso do carro, a força centrípeta é a força de atrito entre os pneus e a estrada. Se não existisse esta força, o carro sairia pela tangente em movimento retilíneo uniforme (posição 4 da fig. 4.1A).

 Veja que esta aceleração é devida à variação à direção do vetor velocidade e não da variação do módulo do vetor velocidade.

 Concluímos que a nossa afirmativa inicial é verdadeira, isto é, o carro pode estar com velocidade escalar constante e possuir uma aceleração (aceleração centrípeta), quando sua trajetória é circular.

Movimento circular uniforme: Quando a trajetória é circular e a velocidade é constante em módulo.

 Da fig. 4.1A, o carro estando em movimento circular uniforme, temos que:
 

V₁  V₂  V₃  V₄ (velocidades vetoriais diferentes)

Notação: a_c vetor aceleração centrípeta

Direção do vetor aceleração centrípeta: a direção do raio (perpendicular ao vetor V)

Sentido do vetor aceleração centrípeta: de fora para dentro da circunferência (buscando o centro)

Módulo do vetor aceleração centrípeta: a_c = V²/R

Demonstração da expressão a_c = V²/R

                              (C) - Medida do arco S = V t.

Os triângulos POQ e ACB são semelhantes porque são isósceles, tendo os ângulos dos vértices iguais. Considerando a medida do arco Vt aproximadamente igual à medida do arco corda AB, obtemos:

(Vt) / V = R / V
Aproximadamente, temos:

V / t = V² / R

 Esta relação será mais exata quanto menor fort, porque o arco tende para a corda e vice-versa.

 Considerando t 0, no limite obtemos:
 

ac = V2/R      ( módulo do vetor aceleração centrípeta)

(4.1)

Observação: Quando a velocidade escalar varia no decorrer do tempo, o movimento circular não é mais uniforme e o movimento tem, além da aceleração centrípeta, uma aceleração tangencial.

Aplicação numérica 1

Vamos determinar o valor da aceleração centrípeta, sabendo que o carro faz a trajetória circular com uma velocidade escalar constante igual 20,0 m/s e o raio da trajetória é igual a 100 m.

 Dados: V = 20,0 m/s e R = 100 m

 De (1) temos que:

 a_c = V²/R

 Substituindo os valores de V e R, obtemos:

 a_c = 20,0²/100 = 400/100

ac = 4,0 m/s2

Conceito de velocidade angular

 A posição de um ponto em uma trajetória circular pode ser determinada por um espaço linear (arco) ou por um espaço angular (ângulo).

Quando o carro vai da posição A para a posição B, ele percorre um arco S e, simultaneamente, "varre" um ângulo  (fig. 3).

Velocidade angular é o ângulo () percorrido em um intervalo de tempo (t).

Notação:  velocidade angular.

Expressão:
 

= () / (t)   ( velocidade angular)

(4.2)

onde  (ângulo descrito) é medido em radianos.

Unidade da velocidade angular (Sistema Internacional)  1 rad/s

Relação entre a velocidade escalar e a velocidade angular

Você sabe que a medida de um ângulo pode ser em graus ou radianos.

Para medir um ângulo em radianos (rad) basta dividir o arco compreendido entre os lados do ângulo pela medida do raio (fig. 4), obtendo:
 

() = (S) / R

(4.3)

Dividindo os dois membros de (4.3) por t, obtemos:
 

()/ t = ( S) / (R t)

(4.4)

Como  = () / (t) e V = (S) / (t), substituindo em (4.4), obtemos:
 

= V/R

(4.5)

V = .R  (relação entre a velocidade escalar e a velocidade angular)

(4.6)

Observação: para determinar a medida de 1 rad basta considerar a medida do arco compreendido entre os lados do ângulo igual à medida do raio (fig. 4.4), obtendo:

 1 rad  57,3^o

Aplicação numérica 2

 Um carro com a velocidade escalar constante de 30,0 m/s faz uma trajetória circular de raio 100 m. Determinar a velocidade angular.

 Dados: V = 30,0 m/s e R = 100 m

 De (5) temos que:

= V/R = 30,0/100

= 0,3 rad / s

Relação entre aceleração centrípeta e velocidade angular

De (1) temos que:

 a_c = V²/R

 Como V =  R (6), obtemos:
 

ac = 2 R ( relação entre a aceleração centrípeta e a velocidade angular)

(4.7)

Freqüência e Período

De um modo geral todos nós temos noção do que seja freqüência e período.

 Freqüência seria o número de vezes que um fenômeno se repete em um determinado tempo, e período é o tempo que leva para o fenômeno se repetir.

 Em linguagem mais específica para o movimento circular, definiremos:

Freqüência: é o número de voltas que a partícula dá por unidade de tempo

 Notação: f  freqüência

Período: é o tempo que a partícula leva para dar uma volta completa

 Notação: T  período

 Pelas próprias definições temos que a freqüência é o inverso do período e vice-versa, ou seja:

f = 1/T ou T = 1/f                                                                                    (4.8)

Unidades de medida de freqüência e período (SI)

Unidade de período = unidade de tempo = 1 s

Outras unidades: 1 min, 1 h, 1 mês, 1 ano, 1 século...

Unidade de freqüência = 1/unidade de tempo = 1/s = 1 s^-1 = 1 hertz (1 Hz)

Quando no movimento circular se tem uma freqüência de 10 Hz, significa que o móvel faz 10 voltas em cada segundo.

Observação: a unidade de freqüência 1rps (1 rotação por segundo), usada na prática, é equivalente a 1 Hz.

Relação entre a velocidade angular e a freqüência

Vimos que a velocidade angular é definida como sendo:
 

= () / (t)

(4.8)

Quando a partícula dá uma volta completa:

= 2  rad

t = T (período)

 Substituindo em (4.2), obtemos:
 

= (2 )/T

(4.9)

Como f = 1/T, substituindo em (4.9):

= 2  f  (relação entre a velocidade angular e a freqüência)

(4.10)

Aplicação numérica 3

 Determinar o período de revolução, a freqüência e a velocidade angular de um satélite que se desloca numa órbita circular com uma velocidade escalar constante igual 8,0 km/s, ao redor da Terra. Considere o raio da Terra igual a 6370 km.

 Dados: V = 8,0 km/s e R = 6370 km.

= V/R = 8,0 / 6370 = 0,0012

1,2 * 10^-3 rad/s

De (9) temos que:

= (2 ) / T

 T = 2 /  2* 3,14 / (1,2 * 10^-3)

T  5233 s

f = 1/T = 1 / 5233

 f  0,19 Hz

Objetivos

• Realizar experiências quantitativas do movimento circular uniforme.
• Verificar que a aceleração centrípeta e a velocidade escalar são constantes.
• Comparar o valor da aceleração centrípeta obtido experimentalmente com o valor obtido na teoria.
• Apreender os conceitos de freqüência, período, velocidade angular, aceleração centrípeta.

• Carro com roda livre movido à pilha
• Cartolina preta para fazer o padrão de medida (5 cm x 10 cm)
• Filmadora de vídeo
• Computador com placa de captura
• Software "SAM" instalado no computador
• 1 folhas de papel milimetrado ou quadriculado para fazer gráfico
• 1 régua

• Faça o carro fazer uma trajetória circular, fixando com uma fita colante na parte inferior do carro a direção das rodas para que o mesmo faça uma trajetória circular. Observe como fica o enquadramento do movimento com o padrão de medida. Procure utilizar um fundo homogêneo e branco para a filmagem.
• Faça a filmagem  do carro se movimento, procurando observar que o carro esteja em uma trajetória circular e em seguida a captura de imagem conforme instruções do manual.
• Abra o programa SAM e a imagem com extensão avi salva no SAM, para fazer as medidas quantitativas do espaços (x,y) e tempo (t) utilizando o SAM.

• Fazer a calibração, ajustando a relação "pixels/cm", abrindo a janela "Calibração" conforme instruções.
• Com a ferramenta "Marcador", assinale as posições do bola a cada seis intervalos (seis quadros - fig.4.5), por exemplo.
• Escolha uma posição como origem e trace com as ferramentas "Reta" e Transferidor" o sistema de eixos cartesianos (x,y).
• Com a ferramenta "Régua", e "Transferidor" faça as medidas dos espaços, x e y com a janela "Posição" aberta.Considere os espaços x e y iniciais igual a 0,0 cm.

• Para medir o espaço x, posicione o cursor sobre a posição inicial, e mantendo pressionado o botão esquerdo, arraste o cursor, perpendicular ao eixo y, sendo exibida uma linha entre a posição inicial e final e solte o botão (fig. 4.6). Leia o valor do espaço (x)  percorrido indicado na janela Posição - "Posição Espacial/Distância" e coloque na tabela 5.1

.
Figura 4.6: Medindo os valores de x e y

• Meça os espaços (x)  em outras posições utilizando o mesmo método e coloque os dados na tabela 5.1.
• Se a captura da imagem foi realizada a uma razão de 15 quadros/s, o intervalo de tempo entre duas posições sucessivas (de um quadro para outro) é igual a 1/15 s. Verifique no próprio SAM, clicando no botão "Avança" quadro a quadro e conferindo as informações na janela "Posição".
• Tendo marcado as posições do carro a cada seis intervalos, o tempo entre a primeira e a segunda posição, por exemplo, é  igual a 6 x 1/15 = 2/5 = 0,4 s; entre a primeira e a terceira posição é 0,8 s e assim sucessivamente. Coloque estes valores dos instantes (t) na tabela 5.1.
• Complete a tabela 5.1, colocando os intervalos de tempo (t) e calculando a correspondente variação de espaço (x).
• Calcule a velocidade média a partir de x₀ e coloque na tabela 5.1. Calcule V = V_posterior - V_anterior, colocando estes valores na tabela 5.1.
Calcule a aceleração média a_x, a_x = V/t, colocando os valores na tabela 5.1. 

Clique aqui para preencher a tabela 5.1 on-line.

 

 
 
 
 
 

Medidas - Direção Y

Para medir o espaço y, posicione o cursor sobre a posição inicial, e mantendo pressionado o botão esquerdo, arraste o cursor, perpendicular ao eixo x, sendo exibida uma linha entre a posição inicial e final e solte o botão (fig. 4.6). Leia o valor do espaço (y)  percorrido indicado na janela Posição - "Posição Espacial/Distância" e coloque na tabela 5.2. Complete a tabela 5.2 usando o mesmo procedimento realizado na direção x.
 

Clique aqui para preencher a tabela 5.2 on-line.

• Coloque os valores encontrados V_x e a_x da tabela 5.1, V_y e a_y da tabela 5.2 na tabela 5.3.
• Calcule:
as velocidades escalares V (V = ( V_x² + V_y²)^1/2)
as acelerações centrípetas a_c (a_c= ( a_x² + a_y² )^1/2) e coloque estes valores na tabela 5.3.
Clique aqui para preencher a tabela 5.3 on-line.

Dê resumidamente as suas conclusões e sugestões para melhoria do experimento.