6. Lentes esféricas: Fundamentos teóricos
6.1 Introdução
6.2 Classificação
  • Quanto à forma das lentes
  • Quanto ao comportamento ótico
  • - Lentes convergentes/focos
    - Lentes divergentes/focos
    6.3 Elementos de uma lente esférica
    6.4 Vergência de uma lente
    6.5 Equação dos fabricante de lentes (Equação de Halley)
    6.6 Construção de imagens em lentes esféricas
    6.7 Determinação analítica das características das imagens
  • Equação de Gauss para lentes esféricas
  • Convenção
  • 6.1 Introdução

    As lentes estão presentes no nosso dia a dia. Temos lentes nos óculos, na máquina fotográfica, na luneta, no telescópio, no microscópio e em outros instrumentos óticos.

    O que é uma lente esférica?

    É um sistema constituído de dois dioptros esféricos ou um dioptro esférico e um plano, nos quais a luz sofre duas refrações consecutivas.

    6.2 Classificação das lentes

  • Quanto à forma das lentes

  • Temos seis tipos de lentes (fig. 6.1).

    Figura 6.1 - Tipos de lentes.

    Observe que as lentes são denominadas côncavas ou convexas, conforme se apresentam para o observador.

    A denominação de uma lente é realizada, indicando em primeiro lugar a natureza da face menos curva, ou seja, aquela que se apresenta com maior raio de curvatura. Por exemplo, na lente côncavo - convexa, a face côncava apresenta maior raio de curvatura (fig. 6.1).

    Observação: Nós estudaremos as lentes esféricas como sendo delgadas, ou seja, quando a sua espessura for desprezível em relação aos raios de curvatura.

  • Quanto ao comportamento ótico

  • As lentes podem ser convergentes ou divergentes, quanto ao comportamento ótico.
    -Lente convergente / focos

    Quando um feixe de raios paralelos ao eixo principal, incide sobre uma lente convergente, emerge convergindo os raios de luz para um ponto denominado foco imagem F' (fig. 6.2a).

    A distância do foco F' à lente é a distância focal imagem f'. Fisicamente o foco imagem F' significa o ponto onde está localizada a imagem de um objeto situado no infinito.

    Como a lente é constituída de dois dioptros, há um segundo foco que é denominado foco objeto F (fig. 6.2b).

    A distância do foco objeto F à lente é a distância focal objeto f. Esta distância f é simétrica à distância focal f'. Fisicamente o foco objeto F significa o ponto onde está localizado o objeto de uma imagem no infinito.

    Como os focos são reais, as distâncias focais objeto f e imagem f' serão consideradas positivas para lentes convergentes.

    São lentes convergentes as lentes biconvexa, plano - convexa e côncavo - convexa (lentes 1, 2 e 3 da fig. 6.1).

    Figura 6.2 - Lente convergente
                     a) Foco imagem F'
                       b) Foco objeto F

    -Lente divergente / focos

    Quando um feixe de raios de luz, paralelos ao eixo principal, incide em uma lente divergente, ele emerge divergindo os raios de luz. Prolongando os raios divergentes, estes se interceptam no ponto F' denominado foco imagem da lente (fig. 6.3a). O foco objeto F da lente divergente é obtido pelo prolongamento dos raios incidentes (fig. 6.3b). O significado físico desses focos são os mesmos para lentes convergentes.

    Figura. 6.3 - Lente divergente
                        a) Foco imagem F'
                      b)Foco objeto F.

    São lentes divergentes: as lentes bicôncava, plano - côncava e convexo - côncava (lentes 4, 5 e 6 da fig. 6.1)

    Na prática reconhecemos se uma lente é divergente ou convergente do seguinte modo: quando o bordo da lente tem menor espessura que a região central da lente é uma lente convergente; quando o bordo da lente tem maior espessura que a região central, é uma lente divergente.

    Observação: Quando a lente é imersa em um meio mais refringente, a lente divergente se torna convergente e vice-versa.

    6.3 Elementos de uma lente esférica

    Figura 6.4 - Elementos de uma lente

    Os elementos de uma lente esférica são (fig. 6.4):

    D1 dioptro de incidência

    D dioptro de emergência

    C1 e C2 centros de curvatura das faces

    R1 e R2 raios de curvatura das faces

    V1 e V2vértices das faces

    espessura da lente que é igual à distância entre V1 e V2

    centro ótico da lente

    Eixo principal  reta que passa pelos centros de curvatura C1 e C2

    6.4 Vergência de uma lente

    Se você observar uma receita de óculos você lerá as medidas, por exemplo, + 5 di ou - 5di e assim por diante.

    O que significam estas medidas?

    Estas medidas indicam as vergências das lentes. A vergência C de uma lente é uma grandeza que corresponde ao inverso da distância focal da lente:

    C = 1 / f                       6.1
    A unidade de medida usual é a dioptria (di) que corresponde ao inverso do metro (m-1).

    Quando a lente é divergente a distância focal é negativa, portanto, a vergência também será negativa. Quando a lente for convergente, a vergência será positiva.

    Uma vergência de + 5 di significa que a lente a ser usada é uma lente convergente com uma distância focal 0,2 m ou 20 cm.

    Uma vergência de - 5 di significa que a lente a ser usada é uma lente divergente com uma distância focal de 0,2 m ou 20 cm.

    6.5 Equação dos fabricantes de lentes (Equação de Halley)

    A equação dos fabricantes de lentes relaciona a distância focal f e a vergência C com os raios de curvatura R1 e R2 e o índice de refração relativo n21. A equação é:

    C = 1/f = (n21 - 1) (1 / R1 + 1 / R2)                     6.2

    Convenção: para a face convexa considera o raio de curvatura positivo e para a face côncava o raio de curvatura negativo.

    Aplicação: Vamos considerar, por exemplo, uma lente biconvexa com raios de curvatura iguais a 10 cm cada uma. O índice de refração relativo é 1,5. Queremos determinar a distância focal e a vergência da lente.

    Usando a equação dos fabricantes de lente (6.2):

    C = (n21 - 1) (1 / R1 + 1 / R2)

    Substituindo os valores:

    C = (1,5 - 1) (1 / 0,10 + 1 / 0,10)

    Obtemos:

    C = 10 di

    Como f = 1 / C, temos:

    f = 1 / 10

    f = 0,10 m ou f = 10 cm

    6.6 Construção de imagens em lentes esféricas

    São utilizados três raios para a construção de imagens (fig. 6.4).

    Raio 1: Raio que incide paralelo ao eixo principal refrata passando pelo foco imagem F'.

    Raio 2: Raio que incide passando pelo centro ótico da lente C, não sofre desvio.

    Raio 3: Raio que incide passando pelo foco objeto F, refrata paralelo ao eixo principal

    Figura 6.5 - Construção de imagens em lentes esféricas:

    a)Lente convergente

     b)Lente divergente

    Para uma lente divergente (fig. 6.5b) a imagem é formada no prolongamento dos raios refratados. As características das imagens obtidas de uma lente divergente para qualquer posição de um objeto real são sempre as mesmas, ou seja, virtual, menor que o do objeto e direita.

    A situação apresentada na fig. 6.5a para uma lente convergente é o esquema de um projetor de filmes ou slides.

    Vamos construir as imagens obtidas de uma lente convergente para outras posições do objeto.


    Figura 6.6 - Construção da imagem fornecida de um objeto situado entre o foco F e o centro ótico C.

    Nessa situação, a lente convergente está funcionado como uma lente de aumento, ou seja, uma lupa.


    Figura 6.7- Construção da imagem fornecida de um objeto situado sobre a dupla distância focal

    A situação da fig. 6.7 representa o esquema de uma máquina copiadora (xerográfica) sem ampliação.

    Figura 6.8 Construção da imagem de um objeto situado além da dupla distância focal

    A situação apresentada na fig. 6.8 é o esquema da formação de uma imagem em uma máquina fotográfica.

    Clique nos "links" abaixo para ver "applets" interessantes sobre lentes convergentes e lentes divergentes:

    Lentes Convergentes
    Lentes Divergentes
    6.7 Determinação analítica das características das imagens A equação de Gauss para lentes esféricas é a mesma que para espelhos esféricos. Relaciona a distância focal f com a distância imagem q e a distância objeto p.

    1 / p + 1 / q = 1 / f

    Vamos demonstrar esta equação para uma lente convergente (fig. 6.9).

    Figura 6.9 - Demonstração da equação de Gauss para uma lente convergente

    Os triângulos O'M1M2 e FCM2 são semelhantes, portanto, seus lados são proporcionais:

    f / p = CM2 / M1M2                         6.3

    Os triângulos I'M2M1 e F'CM1 são também semelhantes, portanto, seus lados são proporcionais:

    f / q = M1C / M1M2                        6.4

    Somando 6.3 e 6.4, obtemos:

    f / p + f / q = (CM2 + M1C) / M1M2

    Como (CM2 + M1C) = M1M2, temos:

    f / p + f / q = M1M2 / M1M2

    f (1 / p + 1 / q) = 1
    1/f = 1/p + 1/q            Equação de Gauss         6.5

    onde:

    distância focal

    distância objeto

    distância imagem

    Observação: A equação da ampliação para lentes é a mesma que obtivemos para espelhos esféricos.

    Sabemos que a ampliação A é definida como sendo a razão entre o tamanho imagem II' e o tamanho objeto OO':

    A = II'/ OO'

    Como os triângulos O'OC e I'IC são semelhantes (fig. 6.9) pois possuem dois ângulos iguais, obtemos:

    A = II'/ OO' = - q / p    Equação da Ampliação              6.6

    - Referencial de Gauss

    O referencial de Gauss será o centro ótico da lente delgada, ou seja, as distâncias imagens e objeto serão medidas a partir do centro ótico.

    Figura 6.10 - Convenção
                                          a)Lentes convergentes
                                         b)Lentes divergentes.

    -Convenção:

    De uma forma geral temos (fig. 6.10):