3- Reflexão em espelhos esféricos: Fundamentos Teóricos
3.1- Introdução

Obtenção de espelhos esféricos côncavos e convexos
Você já observou como é um holofote? Ele é constituído de um espelho esférico e a lâmpada está situada em um ponto tal que os raios refletem paralelos ao eixo principal do espelho. Vamos ver como que acontece essa reflexão.

Considere uma esfera de raio R cortada por um plano longitudinal (fig. 3.1a). Dessa forma você obtém uma calota esférica. Quando a superfície interna for a refletora, tem-se um espelho esférico côncavo de raio R (fig. 3.1b), e quando a superfície externa for a refletora, tem-se um espelho esférico convexo de raio R.

Figura 3.1- a) Obtenção da calota esférica
                b) Espelho esférico côncavo
                c) Espelho esférico convexo

Figura 3.2 - Elementos de um espelho esférico.
a) côncavo
b) convexo

Os elementos de um espelho esférico (fig.3.2) são:

centro de curvatura (centro da esfera que originou o espelho)

vértice do espelho (pólo da calota)

Eixo principal do espelho reta que passa por CV

raio de curvatura do espelho (raio da esfera que originou o espelho)

foco do espelho

Para determinarmos a localização do foco do espelho basta considerarmos raios que incidam no espelho provenientes de um objeto situado no infinito. Estes raios são paralelos e, quando refletem (lei da reflexão), passam pelo foco. Observe que o foco para espelho esférico convexo (fig. 3.2b) é obtido na intersecção dos prolongamentos dos raios refletidos com o eixo principal.

Fisicamente o foco seria onde estaria localizada a imagem de um objeto situado no infinito.

Geometricamente podemos verificar que a distância focal (f =FV) é igual à metade do raio de curvatura (R = CV).

f  = R / 2                      3.1
Observe que a direção do raio de curvatura em qualquer ponto do espelho é a direção da normal (fig. 2.15).

Figura 3.3 Direção do raio de curvatura.


3.2 Construção de imagens em espelhos esféricos

São utilizados três raios básicos para a construção de imagens (fig. 3.4):

1) Raio que incide paralelo ao eixo principal, reflete passando pelo foco.

2) Raio que incide passando pelo foco, reflete paralelo ao eixo principal.

3) Raio que incide passando pelo centro de curvatura, reflete sobre si mesmo.

Figura 3.4 Construção de imagens.
                  a) espelho esférico côncavo
                   b) espelho esférico convexo

Na fig. 3.4a, a imagem II' foi obtida na intersecção dos raios refletidos e ela se forma na frente do espelho. Essa imagem é denominada imagem real e ela precisa de um anteparo para ser vista. Na tela do cinema a imagem que você vê é real (a tela está servindo como anteparo). As características da imagem fornecida neste caso pelo espelho côncavo para o objeto situado antes do centro de curvatura são:

Natureza: real

Orientação: invertida

Tamanho: menor que o do objeto

Posição: entre o centro de curvatura (C) e o foco (F)

Dependendo da posição do objeto na frente de um espelho côncavo, a imagem pode apresentar outras características, como veremos a seguir.

Na fig. 3.4b, a imagem II' foi obtida no prolongamento dos raios refletidos e ela se forma atrás do espelho. Esse tipo de imagem, como já vimos em espelhos planos, é uma imagem virtual. O espelho convexo é usado como espelho retrovisor ou como instrumento de observação em entradas de edifício porque aumenta o campo visual.

Independente da posição que o objeto se situa na frente do espelho convexo, as características da imagem fornecida de um objeto real são sempre as mesmas, que são:

Natureza: virtual

Orientação: direita

Tamanho: menor que o do objeto

Posição: entre o foco (F) e o vértice (V)

Vamos construir a imagem fornecida por um espelho côncavo colocando o objeto em outras posições:


             Figura 3.5 - Objeto sobre o centro de curvatura.

Natureza: real

Orientação: invertida

Tamanho: igual ao do objeto

Posição: sobre o centro de curvatura
 


          Figura  3.6 - Objeto entre o centro de curvatura (C) e foco (F)

Natureza: real

Orientação: invertida

Tamanho: maior que o objeto

Posição: antes do centro de curvatura
 

  • Objeto sobre o foco (F) (fig.3.7)

  •  

     
     
     
     
     

          Figura 3.7- Objeto sobre o foco (F)

    Natureza: imprópria

    Posição: no infinito


    Figura 3.8 - Objeto entre o foco (F) e o vértice (V)

    Natureza: virtual

    Orientação: direita

    Tamanho: maior que o do objeto

    Posição: depois do vértice

    Observação: Nesta situação o espelho esférico côncavo funciona como espelho de aumento.

    3.3 Determinação analítica das características das imagens A equação de Gauss (Carl Friedrich Gauss - fig. 3.9) relaciona a distância objeto (p), a distância imagem (q) e a distância focal (f). É dada pela expressão:
    1/p + 1/q = 1/f 
    Equação de Gauss
     
    Figura 3.9 - Carl Friedrich Gauss
    Carl Friedrich Gauss (fig. 3.9), astrônomo, matemático e físico alemão (1777-1855). Foi reconhecido como um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Em física ocupou-se da ótica, de eletricidade e principalmente de magnetismo, cuja teoria matemática formulou em 1839.

    Vamos demonstrar a equação de Gauss:

    Figura 3.10 - Construção da imagem fornecida por um espelho esférico côncavo

    Da fig 3.10 temos:

    OV = p  distância objeto

    IV = q  distância imagem

    FV = f  distância focal

    IF = q - f

    OO' tamanho objeto

    IItamanho imagem

    Os triângulos O'OV e I'I V (fig.3.10) são semelhantes porque possuem dois ângulos iguais. Como são semelhantes, os seus lados são proporcionais:

    II' / OO'= q / p, que é a equação da ampliação:


    A = - II' / OO'= - q / p                        3.2
    Nas condições de nitidez de Gauss, que são válidas para espelhos de pequena abertura (6o), a parte curva DV do espelho se aproxima de uma superfície plana.

    OO' = DV

    Os triângulos FCI' e FVD são semelhantes porque possuem ângulos opostos pelo vértice iguais e ângulos que são retos. Da semelhança dos triângulos temos que seus lados são proporcionais:

    II' / OO' = (q - f) / f

    Comparando com a equação da ampliação (3.2), obtemos:

    (q - f) / f = q / f

    q p - f p = f q

    Dividindo os dois membros por (p q f), obtemos:

    1/f - 1/q = 1/p

    Obtendo finalmente a equação de Gauss:
    1/p + 1/q = 1/f                                         3.3 

    O referencial de Gauss será o vértice do espelho ou seja as distâncias imagem, objeto e focal serão medidas a partir do vértice.

    Convenção: As distâncias medidas a favor da luz incidente serão positivas e contra negativas. Esta convenção é válida para espelhos esféricos côncavos e convexos (fig. 3.11).

    Figura 3.11 - Convenção:
                                       a) espelhos côncavos
                                       b espelhos convexos

    De uma forma geral temos:

    - Raios de curvatura e distâncias focais de espelho côncavo são positivos e de espelhos convexos negativos.

     - Distâncias de objetos e imagens reais são positivas e de objetos e imagens virtuais negativas.

     - Imagem direita é positiva e invertida negativa.

     Clique nesses endereços:

     http://www.phys.ufl.edu/~phy3054/light/mirror/raydiag/Welcome.html

    http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/index.html

     para ver como são formadas as imagens em espelhos esféricos