O zero, o um e as quatro operações

Existem dois números que se comportam de maneira bastante especial com relação às quatro operações elementares. Estamos nos referindo ao zero e ao um.

São comuns estas opiniões sobre o zero:

Elas fazem sentido quando pensamos o zero associado à subtração. De fato, somando zero a um número ou subtraindo zero de um número obtemos sempre o próprio número. Estes fatos podem ser representados assim:

p + 0 = p

p - 0 = p

A letra p representa qualquer número

Entretanto, o papel do zero na multiplicação é bem diferente.

Veja: 5 x 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0
De um modo geral:

a x 0 = 0 x a = 0

A letra a representa qualquer número

O zero como fator de uma multiplicação é "arrasador". Anula qualquer produto.
Vejamos agora o comportamento do zero na divisão. Lembremos que dividir a por b significa encontrar c de modo que c x b = a (estamos nos referindo à divisão exata).
Como dividendo o zero não oferece dificuldades. Por exemplo: 0 : 7 = 0 pois 0 x 7 = 0.
Agora vamos analizar um caso em que o zero é divisor. Por exemplo: dividir 2 por 0 é encontrar um número que multiplicado por 0 dê 2. Em outros termos:

se 2 : 0 = q então q x 0 = 2

Sucede que não existe um número que multiplicado por 0 dê 2, pois todo número multiplicado por 0 dá 0. Logo, não existe o quociente da divisão de 2 por 0. Tal divisão é impossível.
Há ainda um caso a ser pensado: aquele em que o dividendo e o divisor são iguais a zero. Dividir 0 por 0 é encontrar um número que multiplicado por zero dê zero. Ora, todo número serve! Então haveria infinitos quocientes para a divisão de zero por zero. Esta situação criaria embaraços. Para a matemática, não há interesse algum em ter-se infinitos quocientes para uma só divisão. Por isso, também não se permite a divisão de zero por zero.

Moral da história: o zero nunca pode ser divisor!

Como já vimos, na adição o zero é neutro. Com relação à multiplicação, quem desempenha esse papel de neutralidade é o 1 uma vez que: a x 1 = 1 x a = a, qualquer que seja o número a (ou melhor, o número representado pela letra a).
Veja então que este carácter de neutralidade ou não do zero e do um não é absoluto. Ele é relativo à operação considerada.

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a) Quais são as operações que têm a propriedade associativa?

b) Qual é o número que desempenha o papel de neutralidade na adição? .
E na multiplicação? .
c) Mostre por que o zero nunca pode ser divisor:
.


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