O algoritmo da multiplicação

No módulo 2, em que estudamos a adição, vimos que, além da técnica habitual do "vai um", existem outras técnicas para somar.

A técnica do "vai um"
. 1
0432
+785
1217

Técnica não habitual
0348
+596
08
013
00 14
00944

Ainda no módulo 2 vimos que também existe mais de uma técnica para subtrair.
Essas diferenças técnicas de cálculo são chamadas algoritmos.
Para compreender o algoritmo da multiplicação, vamos analisar alguns exemplos.
Começaremos por um exemplo simples: 7 x 15.

O produto de 7 por 15 é o número de quadradinhos unitários contidos no retângulo de lados 7 e 15.

Figura 60

Vamos decompor o retângulo em outros dois. Já vimos que isto significa usar a propriedade distributiva:

Figura 61

7 x 15 = 7 x (10 + 5) = 7 x 10 + 7 x 5 = 70 + 35

Estes cálculos podem ser organizados de outra maneira:

Figura 62

Para "enxugar" o processo, costumamos fazer a adição de 35 com 70, mentalmente. Temos assim a forma habitual do algoritmo:

Figura 63

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Para efetuar 4 x 23, usando o algoritmo habitual, fazemos (mesmo sem perceber) duas multiplicações separadas e somamos seus resultados. Quais são as multiplicações que efetuamos?


Vejamos agora um exemplo um pouco mais complicado: 13 x 25.

Figura 64

Vamos representar esse produto com o retângulo de lado 13 e 25, decompondo-o em outros dois retângulos.

Para encontrar o total de quadradinhos (ou a área) do retângulo, um caminho natural é encontrar o total de cada parte e, depois, somar esses resultados parciais.

Assim sendo, devemos efetuar 3 x 25 para a parte menor, 10 x 25 para a parte maior, e somar os resultados:

Figura 68

Esse processo pode ser "enxugado" ou resumido. Veja:

Figura 69

Observe novamente que o algoritmo está ligado á propriedade distributiva: ao multiplicar por 13, multiplicamos por 3 e por 10, somando depois os resultados. O algoritmo também está ligado ao nosso sistema de numeração: quando multiplicamos 2 dezenas e 5 unidades (25) por 10, obtemos 2 centenas e 5 dezenas (250) e por isto, no "processo enxuto", o 5 de 250 é escrito embaixo do 7 do 75.

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O produto 13 x 25 pode ser obtido através do número de quadradinhos contidos no retângulo de lado 13 e 25. Podemos, para facilitar os cálculos, decompor este retângulo em outros 4, e utilizar a propriedade distributiva.
Faça, em papel, a representação desta divisão do retângulo 13 x 25 em 4 retângulos menores, indicando qual o total de quadradinhos em cada um dos retângulos.


Vejamos agora um terceiro exemplo:

Figura 70

Agora pense nestas questões:

  1. Como foi obtido o 615?

  2. Por que ficou um espaço vazio sob o 5 do 615?

  3. O 246 escrito abaixo do 615 é duzentos e quarenta e seis?

Para respondê-las, é preciso que saibamos compreender o algoritmo. Analisando-o passo a passo, chegamos ás respostas:

  1. Como 25 x 123 = (20 + 5) x 123, o 615 foi obtido multiplicando-se 5 por 123.

  2. Ao multiplicar 20, isto é, 2 dezenas, por 123, obtemos 246 dezenas, ou seja, 2460 unidades. Isto significa que o espaço vazio sob o 5 do 615 tem o valor do zero.

  3. A terceira questão já está respondida: o 246 escrito abaixo de 615 não é duzentos e quarenta e seis, mas sim dois mil quatrocentos e sessenta.
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