A propriedade distributiva

A propriedade distributiva

Nesta e nas próximas páginas, você poderá apreciar a importância dessa propriedade. Para começar, vejamos como ele é usada no cálculo mental.

"Cada maçã custa 35 centavos. Quanto pagarei por seis maçãs?"

Neste cálculo mental, o produto 0,35 x 6 foi substituído pela soma dos produtos 0,30 x 6 e 0,05 x 6:

0,35 x 6 = 0,30 x 6 + 0,05 x 6

O resultado é 2,10 reais.

Às vezes o produto é "quebrado" numa soma com mais de duas parcelas. Observe a situação seguinte:

"Cada dúzia de bananas custa 1,7 reais. Quanto pagarei por cinco dúzias?"

Neste cálculo mental, o produto 5 x 1,7 foi desmembrado numa soma de três parcelas:

5 x 1,7 = 2 x 1,7 + 2 x 1,7 + 1 x 1,7

O resultado é 8,5 cruzeiros.

Na parte 1, vimos que a organização retangular dos objetos permite explorar aspectos importantes da multiplicação. Veremos, através de um exemplo, que a organização retangular também permite visualizar a propriedade distributiva.

"Na túnica do porteiro há uma série de botões enfileirados, organizados em linhas e colunas.

Temos ao todo 6 x 5 = 30 botões

O porteiro colocou o cinto. E agora, quantos são os botões?"

É claro que o número de botões é o mesmo; mas, observando a separação dos botões determinada pela posição do cinto, podemos contá-los assim:

2 x 5 + 4 x 5 = 10 + 20 = 30

Então:

6 x 5 = 2 x 5 + 4 x 5

A propriedade distributiva também pode ser visualizada geometricamente através do cálculo de áreas. O retângulo ABCD foi dividido nos retângulos I e II.

Temos:
área do retângulo I = 4 x 2
área do retângulo II = 4 x 5
área do retângulo ABCD = 4 x (2 + 5) = 4 x 7

Como a área do retângulo ABCD é a soma das áreas dos retângulos I e II, resulta que:

4 x (2 + 5) = 4 x 2 + 4 x 5

Para indicar que esta propriedade é geral e não depende dos números considerados, podemos usar letras para representar números quaisquer.

m x (a + b) = m x a + m x b
Figura 53

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Figura 54

O retângulo ao lado tem comprimento x + y e largura z. Diga qual é a área do retângulo usando duas expressões matemáticas de escritas diferentes (as quais, no entanto, devem ter o mesmo valor).
a) primeira expressão:
b) segunda expressão:

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