A organização retangular

Considere estes problemas:

Figura 1

Quantas são as gavetas?

Figura 2

Quantos azulejos serão gastos para revestir a parede toda?





Você pode resolver o primeiro problema contando as gavetas uma a uma, mas há de concordar que é um pouco trabalhoso. E, usando a contagem, o segundo problema fica mais difícil, pois não vemos todos os azulejos.
Os dois problemas podem, no entanto, ser resolvidos com o uso da multiplicação.

No problema do gaveteiro, você pode ver que cada fileira de gavetas contém 10 gavetas e que todas as fileiras têm a mesma quantidade de gavetas:

Figura 3

Como há 7 fileiras de gavetas, o total é:

Figura 16

A resolução que acabamos de ver mostra que a multiplicação nos pemite encontrar o total de objetos organizados numa disposição retangular, como é o caso das gavetas.
Usando o mesmo raciocínio, resolve-se o problema dos azulejos:

Figura 2


Cada fileira tem 22 azulejos; são 12 fileiras; total de azuleijos: 12 x 22 = 264



Observando estes dois exemplos, verificamos que a organização retangular equivale á idéia de repetição de parcelas iguais.

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Figura 5

Observe a formação de soldados. Como saber o total de soldados, sem contar um por um?



Já observamos que é comum as crianças conhecerem a multiplicação a partir da adição de parcelas iguais. Mas, mais tarde, elas devem também relacionar a multiplicação diretamente com os arranjos retangulares.
Os arranjos retangulares são importantes, primeiro porque são muito comuns no dia a dia. Aparecem:

Figura 6

Em segundo lugar, eles facilitam a percepção de certas propriedades da multiplicação. Vamos ver um exemplo.

Figura 9 Nesta figura, pode-se encontrar o total de quadradinhos fazendo 3 x 6 = 18, pois temos 6 fileiras de 6.


Mas também é correto encontrar o total fazendo 6 x 3 = 18, pois há 6 colunas de 3.


Conclusão: a ordem dos fatores não altera o produto, pois tanto 3 x 6 como 6 x 3 resultam em 18. Esse fato é conhecido como propriedade comutativa da multiplicação. Comutar significa trocar; no caso, troca-se a ordem dos fatores.

Há ainda outra razão importante que justifica a ênfase nos problemas que envolvem a organização retangular: eles facilitarão, posteriormente, o cálculo de áreas.

Quadradinho unitário Figura 4

Figura 10 A área do quadrado de lado 4 é igual a 4 x 4, pois no seu interior cabem 4 x 4 quadradinhos unitários.


Figura 11 A área do retângulo de lados 3 e 5 é igual a 3 x 5 (ou 5 x 3), pois este é o número de quadradinhos unitários que cabem em seu interior.

Figura 12

A área desta figura é igual a 31 porque cabem 31 quadradinhos unitários no seu interior.


Para trabalhar a multiplicação utilizando a idéia de organização retangular podemos utilizar papel quadriculado, escrevendo de várias maneiras diferentes o número de quadradinhos de cada figura.

Figura 13 3 + 3 + 3 + 3 ou 4 x 3
ou 4 + 4 + 4 ou 3 x 4 ou ...


Figura 14 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ou 5 x 2
ou 5 + 5 ou 2 x 5 ou ...


Figura 15 3 + 3 + 3 + 6 + 6
ou 3 x 3 + 2 x 6
ou 2 + 2 + 2 + 5 + 5 + 5
ou 3 x 2 + 3 x 5 ou ...


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Um professor estava exercitando o cálculo mental de seus alunos, e perguntou qual era o resultado de 12 x 3. Alguns alunos tiveram muita dificuldade para encontrar o resultado, enquanto outros, não. Como você faria para calcular rapidamente 12 x 3?


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