Só os gênios compreendem a simbologia matemática?
(tópico 1)

Muitas pessoas imaginam o cientista como um homem de cabelos despenteados, vestindo um guarda-pó branco, tendo ao fundo um quadro negro de fómulas e símbolos matemáticos. Esta imagem é muito comum entre as pessoas, até mesmo entre nós, professores.

A pessoa que compreende e manuseia a simbologia matemática freqüentemente é considerada gênio; fórmulas e símbolos matemáticos são coisas complicadas, difíceis e indecifráveis para a maioria das pessoas. Mas isto não acontece apenas com os códigos usados pela Matemática. Uma partitura musical, por exemplo, é complicada e indecifrável para quem não a conhece. Entretanto, uma pessoa que se dedique a estudar música aprenderá a decifrar seus códigos.

O mesmo se passa com a simbologia usada pela metemática: com algum esforço é possível compreendê-la.



O uso inadequado traz prejuízos
(tópico 2)

Os livros didáticos habitualmente usados em nossas aulas trazem muitos símbolos matemáticos.

O excesso de simbologia, freqüentemente, cria dificuldades desnecessárias para o aluno, chegando mesmo a impedir que ele compreenda a idéia representada pelo símbolo.
Assim, por exemplo, a apresentação precoce e inadequada do símbolo que representa fração (1/2, 3/4, 7/9, etc.), pode prejudicar a compreensão do conceito de fração. Esta dificuldade, gerada por uma apresentação inadequada da linguagem matemática, é bastante lamentável; afinal de contas, esta linguagem foi desenvolvida justamente com a intenção oposta.
A linguagem matemática desenvolveu-se para facilitar a comunicação do conhecimento matemático entre as pessoas. Entretanto, quando abusamos do uso de símbolos e não nos preocupamos em trabalhar a compreensão dos mesmos, clareando o seu significado, conseguimos o efeito contrário: dificultamos o processo de aprendizagem da matemática.



A simbologia matemática tem história
(tópico 3)

Conhecer a origem de certos símbolos pode ajudar a compreendê-los. Já nas civilizações da Antiguidade (babilônios, gregos, chineses, romanos, etc.), os homens desenvolveram linguagens variadas para representar sons (palavras) e números, os símbolos que usavam de uma civilização para outra, dependendo de suas condições materiais e culturais.
Assim, por exemplo, os babilônios desenvolveram uma escrita para os números que, embora bastante sofisticada, usava basicamente um único sinal em forma de cunha (escrita cuneiforme).

As formas eram feitas pressionando levemente o bastonete sobre a placa de argila.

Com placas cuneiformes e uma série de princípios eles representavam qualquer quantidade.

Na China antiga foi usado um sistema numérico no qual, por exemplo, o número 56789 era representado dessa maneira:

A forma destes sinais originou-se, possivelmente, do próprio processo de calcular empregado por eles.
O cálculo era realizado com auxílio de pequenas barras de bambu.

Os egípcios, cujo sistema numérico foi abordado no módulo 1 deste curso, além dos sinais que representavam um, dez, cem, mil, dez mil e um milhão, também usavam dois curiosos sinais para identificar operações:

Duas pernas andando (ou andando para frente) indicavam adição e duas pernas voltadas para a esquerda (ou andando para trás), a subtração.



Sinais que se originaram de palavras
(tópico 4)

Durante a Idade Média (séculos V a XIV, aproximadamente), os livros de matemática eram praticamente desprovidos de símbolos. As idéias eram expressas por extenso, usando-se principalmente o latim. Aquela fase é denominada, hoje, de fase retórica da linguagem matemática.

10 census et 6 depentis 5 rebus aequatur 2

(Você é capaz de adivinhar o que significa esta frase?)

Naquela época, a subtração era indicada pela palavra latina minus. Com o tempo os copistas passaram a abreviar as palavras e minus foi substituída pela sua inicial com um traço em cima. Mais tarde passou-se a usar apenas o traço para indicar a subtração.
O sinal que usamos hoje para indicar a adição tem uma história parecida. A palavra latina et corresponde ao nosso e; ela indica adição: dezoito é dez e oito (dez mais oito). O sinal de adição (+) é uma derivação da letra t da palavra et.
Origem semelhante tem o símbolo que usamos para indicar raiz quadrada. Ele é uma variação da letra R, escrita em gótico:
  • Esta letra é a inicial da palavra latina radix, que quer dizer raíz.
    Há outros símbolos matemáticos que se originaram das iniciais de certas palavras. O número pi (PI) surgiu do cálculo do perímetro da circunferência. Em grego, perímetro escreve-se assim:

    Em 1737 o matemático suíço Leonhard Euler (lê-se "óiler") adotou a inicial da palavra grega para indicar o quociente constante entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência.

    Como mostram os exemplos que vimos, muitos sinais usados hoje na matemática são resultado de sucessivas transformações. Na época em que os livros eram copiados manualmente estas modificações eram inevitáveis. O aparecimento da imprensa, nos fins do século XV, contribuiu para estabilizar a forma dos símbolos.



    O uso de letras na Matemática
    (tópico 5)

    É costume usar letras nas fórmulas matemáticas. Assim, por exemplo, na fórmula usada para calcular a área de um trapézio aparecem quatro letras.

    Podemos exprimir o cálculo da área de um trapézio sem representar os números por letras:

    "Para calcular a área de um trapézio, primeiro somamos as medidas de suas bases; em seguida, multiplicamos esta soma pela medida da altura; finalmente dividimos o produto obtido por dois."

    Como você vê, o resultado é uma sentença muito comprida. Além disso, essa sentença só pode ser compreendida por quem conhece a língua portuguesa. A fórmula com letras, ao lado da figura, além de ser mais curta, pode ser compreendida por pessoas de qualquer parte do mundo.
    O uso de letras para representar números é um fato relativamente recente na história da matemática. Um dos responsáveis por esta prática foi o matemático francês François Viète, que viveu no século XVI.
    Vejamos mais alguns exemplos que ilustram o uso de letras na matemática. Há cerca de 2300 anos, o matemático grego Euclides escreveu em um de seus livros que:

    "Se iguais são somados a iguais, os totais são iguais".

    Usando letras para representar números podemos expressar esta idéia assim:

    "se a = b e c = d, então a + c = b + d"

    Dentre as pessoas que freqüentaram pelo menos as séries iniciais do primeiro grau, muitas se lembram de que "a ordem dos fatores não altera o produto". Trocando em miúdos esta frase resume a seguinte idéia: "numa multiplicação, se trocarmos a ordem dos números que estão sendo multiplicados, o resultado permanece o mesmo, quaisquer que sejam os dois números". Usando letras para representar os dois números esta propriedade fica assim resumida:

    a.b = b.a

    Nesta sentença matemática as letras a e b representam dois números quaisquer.
    Para somar três números podemos somar o primeiro com o segundo e o resultado obtido somar com o terceiro número; ou então, podemos somar o segundo com o terceiro número e o resultado desta soma adicionar ao primeiro. Enfim, os números podem ser associados de qualquer maneira. Usando letras e parênteses escrevemos que:

    (a + b) + c = a + (b + c),


    quaisquer que sejam os números representados pelas letras a, b, e c. Esta é a propriedade associativa da adição.
    Neste módulo, estudando a subtração, vimos algumas de suas propriedades, como a da compensação, por exemplo: "na subtração de dois números, sempre que ambos aumentam do mesmo tanto, a diferença entre eles permanece inalterada". Usando letras, esta propriedade é formulada assim:

    "se a - b = c então (a + x) - (b + x) = c"
    Neste caso as letras a, b e x também representam números quaisquer. Convém lembrar, entretanto, que, se estivermos raciocinando no universo constituído pelos números positivos e o zero, então o número representado pela letra b não pode ser maior do que o número representado pela letra a.
    A equação que hoje representamos assim:

    "10x² - 5x + 6 = 2",

    no século XV era expressa nesta outra linguagem:

    "10 census et 6 depentis 5 rebus aequatur 2"

    Não há dúvida de que a linguaguem algébrica (o uso de letras para representar números), simplifica a comunicação, por seu caráter universal, preciso e econômico. Você já imaginou um livro de matemática todo escrito por extenso, sem o uso de símbolos matemáticos? Sem dúvida ele teria muito mais páginas do que os livros usuais.



    Representação de propriedades da adição e da subtração
    (tópico 6)


    Na realidade, quando efetuamos cálculos mentais, utilizamos certas propriedades da operação. Assim, por exemplo, a soma não depende da ordem dos números que estão sendo somados. Usando letras, esta propriedade é assim resumida:
    a + b = b + a,
    quaisquer que sejam os números representados pelas letras a e b. Comutar significa trocar. Por isso esta propriedade é conhecida como propriedade comutativa da adição.
    Para finalizar, vamos apresentar a formulação, através da linguagem algébrica, de mais algumas propriedades da subtração. Procure compreender cada uma das sentenças:
  • se a - b = c, então (a + x) - b = c + x
  • se a - b = c, então a - (b + x) = c - x
  • se (a - b) - c = a - (b + c)




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