O desenvolvimento da Matemática entre
os povos antigos
(tópico 1)
Na lição deste módulo apresentamos os
sistemas numéricos egípcio e romano. Outras
civilizações da Antigüidade, como as dos babilônios,
gregos, chineses e hindus, criaram seus próprios sistemas
numéricos. Os maias, que viveram na América Central em
tempos mais recentes, também desenvolveram um modo interessante
de registrar números.
Para a compreensão desta leitura, é importante observar
que estas civilizações não vieram umas depois das
outras. Pelo contrário, muitas coexistiram durante séculos
e, embora localizadas em regiões diferentes, mantiveram contato
umas com as outras. Com exceção dos maias, que habitavam
a América, as civilizações da Europa, Oriente e
Oriente Médio trocavam mercadorias e conhecimentos.
O intercâmbio cultural envolveu também os conhecimentos
matemáticos daqueles povos e se refletiu nas suas maneiras de
contar e escrever os números.
A história dos sistemas de numeração
desenvolvidos por nossos antepassados muitas vezes se confunde com a
própria história de seus criadores. As
condições em que as civilizações do
passado surgiram e evoluíram levaram ao desenvolvimento de conhecimentos
práticos que constituíram o embrião de nossos amplos
e diversificados conhecimentos atuais, em todas as áreas. Assim,
a Matemática desenvolveu-se, inicialmente, a partir do modo de
vida e das necessidades do dia-a-dia daqueles povos.
As grandes civilizações do passado se
desenvolveram às margens de grandes rios e dependiam
essencialmente da agricultura. Para a organização
das atividades agrícolas era necessário, antes de
mais nada, dividir as terras e calcular a extensão que
caberia a cada agricultor. A partir desses problemas, desenvolveram-se
as primeiras noções de geometria e de medidas de
áreas.
Por outro lado, avaliar a quantidade de cereais produzida,
distribuir os grãos entre a população,
comercializar os produtos agrícolas eram atividades que
exigiam um sistema de numeração e técnicas
de cálculo.
Era importantíssimo também prever as
épocas de chuva e seca, de frio e calor, ou seja, as
estações do ano, que determinavam momentos de
plantar e colher. A previsão das estações
só foi possível em função da
observação cuidadosa dos movimentos dos astros e
da posição do Sol, da Lua e das estrelas, nas
diferentes épocas do ano. Os povos da Antigüidade, assim
como os povos americanos que mais se desenvolveram (os maias,
astecas e incas) criaram seus calendários, o que exigia
conhecimentos de astronomia e habilidades de cálculo.
Entretanto, nossos antepassados não se limitaram
a conhecimentos de caráter prático. Foram mais longe,
pelo prazer do conhecimento em si mesmo. Nisto, muito se destacaram
os gregos. No campo da Matemática, a ciência dos
gregos atingiu grande desenvolvimento no século IV "a.C.", com
Euclides, cuja obra sobre Geometria influencia o ensino dessa parte
da Matemática, até hoje, em muitas de nossas escolas.
Os gregos criaram seu próprio sistema de
numeração, com base 10, utilizando letras para
representar os números, o que não facilitava os
cálculos.
Os romanos, que expandiram seus domínios a partir
do século V "a.C.", assimilaram uma parte da Ciência grega,
mas interessaram-se sobretudo por suas aplicações
práticas, na engenharia (construção de
estradas e aquedutos) e na medicina. No campo da Matemática
não deram qualquer contribuição importante.
As invasões bárbaras, nos séculos V e VI "d.C.",
acabaram por destruir o Império Romano e mergulharam o mundo
ocidental num período pouco favorável ao
desenvolvimento da Ciência.
Entretanto, enquanto o Império Romano declinava, uma grande civilização florescia
no Oriente, no vale do rio Indo, entre as regiões que atualmente constituem o Paquistão
e a Índia.
Os rios sempre tiveram grande importância na vida
dos homens. São fontes de vida, pois fornecem água e
alimento. Além disso são estradas naturais. Quase
todas as grandes civilizações do passado
desenvolveram-se às margens de rios. Isto aconteceu
também com os hindus.
O rio Indo está localizado onde hoje é o
Paquistão: próximo à India atual.
Em seu vale, há mais de 4000 anos, foram construídas
várias cidades, com ruas, calçadas, sistemas de
fornecimento de água e canalizações de esgoto.
Possuíam piscinas para banhos públicos e casas
construídas com tijolos de barro. Seus habitantes praticavam
um comércio bastante intenso, inclusive trocando mercadorias
com outros povos.
Como não poderia deixar de ser, numa sociedade com
este nível de organização, os habitantes da
região possuíam uma linguagem escrita e um sistema
numérico. Entretanto, este não era ainda o sistema
de numeração que usamos hoje. Muitos séculos
se passaram até que os hindus desenvolvessem o sistema de
numeração decimal. Não há muitos
documentos sobre a Matemática conhecida pelos hindus da
Antigüidade. Por isto é impossível saber, com
exatidão, quando e como os hindus chegaram ao sistema de
numeração decimal posicional. Ao que parece é que, por
volta do século V, eles já o utilizavam.
Entretanto, uma coisa é certa: os hindus tiveram
contato com muitas outras civilizações.
Influenciaram-nas e foram influenciadas por elas. O princípio posicional,
presente na numeração hindu, também aparece
no sistema numérico dos babilônios, e sabemos que
houve contato entre esses povos. A base dez, que é uma das
características do sistema hindu, também era usada
pelos egípcios e chineses. Isto pode ser explicado pelo
fato de todos terem dez dedos nas mãos, mas, talvez,
também seja devido ao intercâmbio que houve entre eles.
O zero, que é outra característica importante
da numeração dos hindus, talvez também
não seja uma criação deles. Há
indícios de que, na fase final da civilização
babilônia, já era usado um símbolo para o nada.
Entretanto, um grande mérito deve ser creditado aos
hindus: o de reunir estas diferentes características num
mesmo sistema numérico.
O intercâmbio cultural entre os povos da Antigüidade
também se revela no uso do ábaco, cuja origem não
é conhecida, mas que, sabemos, era usado pelos chineses,
hindus e romanos. É certo que o ábaco teve grande
importância na criação do nosso sistema de
numeração, como procuramos mostrar na segunda parte
da lição.
Enquanto os hindus, que habitavam o vale do rio Indo e
tinham contatos com muitos outros povos, iam pouco a pouco juntando
os fios e preparando a trama do nosso sistema de numeração; grandes acontecimentos
tiveram início na Península Arábica.
Esta era uma região desértica habitada principalmente por tribos
nômades que se deslocavam em grandes caravanas entre os poucos centros de comércio
existentes. Nesse ambiente viveu Maomé, o criador da
religião islâmica (ou religião muçulmana) no
início do século VII
da era cristã.
Maomé não foi apenas líder religioso, mas também
grande
chefe guerreiro que submeteu ao seu governo toda a Península
Arábica. Seus sucessores empreenderam muitas guerras de conquista,
ampliando a área de influência do islamismo e estabelecendo um
grande império que, um século depois da morte de Maomé,
atingia, a
leste, a região do rio Indo e, a oeste, o norte da África e a
Península Ibérica.
Os árabes não foram apenas guerreiros. Ao
contrário,
tiveram um papel importantíssimo no campo da cultura e da ciência,
especialmente na Matemática. A grande extensão do Império
Islâmico
permitiu aos estudiosos árabes entrar em contato com as mais
variadas culturas.
Seus sábios estudaram e traduziram as obras dos filósofos e
matemáticos gregos, preservadas na célebre biblioteca de Alexandria,
no Egito. Não fossem as traduções para o árabe, essas
obras teriam
sido perdidas para sempre com a destruição daquela biblioteca, no
final do século VII.
No extremo oriental do seu império, os árabes entraram em
contato com a cultura hindu e interessaram-se especialmente pela
astronomia, a aritmética e a álgebra, muito desenvolvidas naquela
civilização. Estudaram sobretudo o sistema numérico hindu,
reconhecendo sua simplicidade e praticidade. Esses conhecimentos já
eram dominados pelos hindus há vários séculos, mas não
haviam se difundido entre os povos do ocidente.
Os árabes, que haviam
penetrado na Europa e dominavam a Península Ibérica, foram os
introdutores da ciência oriental na Europa medieval. Entre os
séculos VIII e XIII, por iniciativa dos árabes, foram criadas
muitas universidades e bibliotecas, desde Bagdá, no Oriente Médio,
até Granada e Córdoba, na atual Espanha. Nesses centros, as obras
dos hindus foram traduzidas para o árabe e difundidas entre os estudiosos.
Entretanto, na Europa Medieval houve grande resistência
à introdução do saber oriental, sobretudo ao sistema de numeração
hindu e à maneira de realizar as operações nesse sistema.
Estabeleceu-se um conflito entre os partidários do velho ábaco,
herança dos romanos, e os que reconheciam as vantagens do método
hindu. Esse confronto ficou conhecido como a contenda entre
"abacistas" e "algoristas", e terminou com a vitória
final destes últimos, já em pleno Renascimento.
Mas o que significava a expressão "algorista" e de onde
veio ela?
Os dez símbolos do nosso sistema de numeração são
chamados
dígitos ou algarismos. Dizemos, por exemplo, que 507 é um
número
de três dígitos ou três algarismos.
A palavra dígito vem da palavra latina "digitus", que
significa dedo. É claro que isto tem a ver com o uso dos dedos nas
contagens.
É curiosa a origem da palavra algarismo. Durante o reinado do
califa al-Mamun, no século IX, viveu um matemático e astrônomo
árabe, que se tornou famoso. Chamava-se Mohammed ibm-Musa
al-Khowarizmi. Ele escreveu vários livros. Num deles, intitulado
"Sobre a arte hindu de calcular", ele explicava minuciosamente o
sistema de numeração hindu. Na Europa, este livro foi traduzido
para o latim e passou a ser muito consultado por aqueles que
queriam aprender a nova numeração. Apesar de al-Khowarizmi,
honestamente, explicar que a origem daquelas idéias era hindu,
a nova numeração tornou-se conhecida como a de al-Khowarizmi. Com
o tempo, o nome do matemático árabe foi modificado para
algorismi que, na língua portuguesa, acabou virando
algarismo.
O sistema numérico criado pelos romanos foi usado na
Europa durante muitos séculos. Isto aconteceu, sobretudo, devido
ao grande poder da Igreja Católica Apostólica Romana durante toda
a Idade Média (do século V ao século XV, aproximadamente). O
sistema
de numeração decimal, como vimos, chegou à Europa, levado
pelos
árabes, por volta do século VIII. Portanto, quando a
numeração
hindu chegou à Europa, os europeus estavam acostumados com a
numeração romana.
Para nós, que conhecemos os dois sistemas, é muito
fácil
perceber as enormes vantagens que o sistema numérico decimal tem
sobre a numeração romana. Isto poderia nos fazer concluir que a
numeração hindu-arábica tenha sido prontamente aceita pelos
europeus,
em vista de sua superioridade. Entretanto, não foi isso que
aconteceu.
Foram necessários alguns séculos para que as novas
idéias
triunfassem definitivamente. Isto só aconteceu no século XVI.
Durante muitos anos, uma verdadeira batalha foi travada entre
os adeptos do novo sistema e os defensores do sistema antigo. Os
numerais hindu-arábicos chegaram a ser proibidos nos documentos
oficiais, mas eram usados na clandestinidade.
A perseguição, contudo, não conseguiu impedir a
disseminação do
novo sistema, que se impôs pelas suas qualidades.
Antes da invenção da imprensa, que ocorreu no
século XV, os livros eram copiados manualmente, um a um. Como cada copista
tinha a sua caligrafia, durante os longos séculos de copiagem
manual as letras e os símbolos para representar números sofreram
muitas modificações. Além disso, como o sistema de
numeração criado
pelos hindus foi adotado pelos árabes e passado aos europeus, é
natural que, nesse percurso, a forma de escrever os dez algarismos
sofresse alterações.
Por volta do século IV, os hindus representavam os algarismos
assim:
Não havia ainda um símbolo para o nada.
No século IX, já com o zero, a representação
evoluiu para:
No século XI os hindus representavam os dez dígitos assim:
No mesmo século XI, os árabes que estavam no Ocidente
representaram
assim:
No século XVI os árabes orientais empregavam esta
representação:
Veja as formas usadas pelos europeus nos séculos XV e XVI:
Hoje a representação é esta:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Após a invenção da imprensa, as
variações foram pequenas. Os tipos foram sendo
padronizados. Mas, mesmo assim, as modificações
são inevitáveis. No visor das calculadoras eletrônicas e dos relógios
digitais, os dez algarismos são
representados assim:
índice geral
índice módulo1
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