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Universidade
de São Paulo
Instituto de Física
de São Carlos
Licenciatura em Ciências
Exatas
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Disciplina
Instrumentação para o Ensino
Prof. Dr. Dietrich Schiel
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Trabalho desenvolvido
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Responsável
pela página
Julio Cesar Queiróz de Carvalho
jcqc@if.sc.usp.br
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Análise do Movimento
de uma tartaruga no tampo de uma mesa
1. Fundamentação
teórica
1.1.– Movimento Retilíneo
Uniforme
Quando analisamos
um movimento ao longo de uma trajetória retilínea, cuja velocidade
do móvel em questão não varia durante toda a trajetória
(ou no trecho analisado), dizemos tratar de um Movimento Retilíneo
Uniforme.
O movimento de uma pessoa numa escada rolante
ou o movimento de um automóvel em alguns trechos, são exemplos
de movimentos que podemos classificar como sendo retilíneos Uniformes.
Bom, mas o que queremos dizer com a velocidade ser constante? Que grandezas
estão relacionadas? Veja o tópico seguinte.
1.1.1.–
Distância, velocidade e tempo
A velocidade
está relacionada com a taxa de variação do espaço
percorrido pelo tempo gasto para percorre-lo. A mesma traduzirá
então o quão rápido um móvel percorre um dado
espaço.
A expressão para
a velocidade é dada por:
Vemos que a velocidade é
inversamente proporcional ao tempo. Portanto se analisarmos dois móveis
(1 e 2) percorrendo o mesmo espaço e tendo o móvel 1 gasto
um tempo t1 e o móvel 2 um tempo t2 para percorre-lo, sendo t2>t1,
temos que v1>v2, então dizemos que o móvel 1 foi mais
rápido que o móvel 2.
o Unidade de v
Como a velocidade
é o quociente entre distância e tempo, podemos ter as seguintes
expressões para as unidades de v, de acordo com a conveniência.
Km/s, m/min, m/s, etc...
No S.I. (Sistema
Internacional), a unidade de comprimento é m (metro) e de tempo,
s (segundo), logo a velocidade no S.I. é o m/s.
Somente a título de curiosidade, a tabela abaixo apresenta o valor
de algumas velocidades, muito comuns no estudo da Física e em nossa
vida diária (observe a unidade usada para expressar cada um desses
valores).
Fenômenos/Objetos
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Velocidade média
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Luz
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300.000 Km/s
|
Terra em sua órbita
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30 Km/s
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Avião supersônico
(Concorde)
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700 m/s
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Som no ar
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340 m/s
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Automóvel na estrada
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30 m/s
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Atleta em uma corrida
|
10 m/s
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Homem caminhando
|
1,5 m/s
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Tartaruga
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0,02 m/s
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o Relação
entre 1Km/h e 1m/s
O Km/h e
o m/s são unidades mais usuais para velocidade, você irá
encontrar com mais freqüência. Por isso é importante
estabelecer uma relação entre essas unidades.
Sabemos
que 1Km = 1000m e 1h = 3600s, podemos escrever:
Essa relação
é importante quando se quer converter as unidades para a velocidade,
de Km/h para m/s ou vice-versa.
o Cuidado com as unidades
Sempre que for utilizar-se
de uma equação deve sempre certificar as unidades envolvidas.
Exemplo:
Suponha que um carro esteja
se movendo com uma velocidade constante de 15 m/s e que você deseje
saber a distância que ele percorre em 10s. Devemos usar a equação
Observe que, neste caso, a
unidade de tempo usada em v e em t foi a mesma (s). Assim, esta unidade pôde
ser simplificada e, por isso, obtivemos a distância percorrida pelo
carro em 2 minutos, ao usarmos a equação encontraremos
dificuldade:
Vemos que, agora, as unidades
de tempo são diferentes e sua simplificação não
pode ser feita. Devemos, então, transformar o tempo de 2min em segundos.
Como , vem:
É
preciso, sempre, tomar cuidado com as unidades ao usar qualquer equação
(ou fórmula).
1.1.2.– Equação horária
do movimento
Para estabelecer a equação
horária do ponto material em MRU (Movimento Retilíneo Uniforme)
é necessário, inicialmente, estabelecer o sistema de referência
adequado. Veja a figura abaixo.
Nesse sistema
de referência estão fixados a origem O e a posição
inicial x0 medida no instante t0
a partir dessa origem. Estão representadas também a velocidade
e a posição x do ponto material no instante t.
Sendo constante, o módulo
da velocidade (v) do ponto material é igual à sua velocidade
média (vm) em qualquer intervalo de tempo.
Assim, da definição de velocidade média (
), podemos escrever:
Esta é
a equação horária do MRU. Ela permite obter a posição
x(variável dependente) do ponto material para cada instante t (variável
independente). Os termos v, x0 e t0
são constantes. Em geral, é possível admitir t0
= 0 – basta supor que o início da cronometragem do movimento tenha
sido feita com o cronômetro zerado e, neste caso, essa função
se torna mais simples:
1.1.3.–Leitura complementar: Aquiles e a tartaruga
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Um dos paradoxos de Zenon. Aquiles
nunca vai alcançar a tartaruga porque ela sempre está um
pouco adiante
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No século V a.C., Zenon de Eléia, um filósofo grego,
formulou quatro célebres paradoxos (contradições
aparentes), um dos quais – “Aquiles e a Tartaruga” – está diretamente
ligado às dificuldades que os gregos daquela época tinham
para a análise teórica dos movimentos. Aquiles aposta uma
corrida com a tartaruga e é dez vezes mais veloz que ela. A tartaruga
parte antes, de modo que está a uma distância d à
frente, quando ele parte. Quando Aquiles atinge a distância d, a
tartaruga já terá percorrido uma distância adicional
, e continuará à frente de Aquiles. Quando Aquiles tiver percorrido
, a tartaruga terá percorrido , e assim por diante. A conclusão
do paradoxo é que Aquiles nunca conseguia alcançar a tartaruga.
A dificuldade básica dos gregos estava em compreender que a soma
de uma série infinita de intervalos de tempos que tendem a zero
rapidamente (em progressão geométrica) pode ser finita, ou
em outras palavras, que é possível obter um resultado finito
mesmo quando a soma tem infinitos termos.
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2. Análise do movimento
utilizando o Software S.A.M.
2.1.
Objetivo
Calcular
a velocidade média de uma tartaruga no tampo de uma mesa e concluir
a respeito do tipo de movimento que a mesma realiza.
2.2. Descrição do
experimento
Primeiramente
foi feita a filmagem, em VHS, de uma tartaruga caminhando sobre uma mesa.
Essa filmagem foi capturada, com o próprio S.A.M., em formato AVI
e editada utilizando o software Video Frame, excluindo as partes da filmagem
que não interessavam.
Com o filme já editado, o próximo
passo foi calibrar o S.A.M., pois utilizamos a própria tela do computador
para demarcar os pontos e para isso queríamos que o programa convertesse
as unidades de medida de pixel para centímetros. Como padrão
de medida utilizamos uma folha de sulfite que marcava 20cm (ver fig.1).
Em seguida utilizamos as ferramentas do software S.A.M. para analisar
o movimento (demarcar pontos, determinar distâncias...). A figura
abaixo ilustra a janela principal do S.A.M., com o filme da tartaruga pronto
para ser rodado e analisado.
(Fig.1 - figura ilustrativa do software S.A.M.)
Como podemos
ver na figura 1, o movimento da tartaruga é bastante lento, tendo
em vista que o filme durou cerca de 8 segundos e obteve 124 quadros. Para
a demarcação dos pontos foi utilizado um intervalo de 10
quadros, marcando ao todo 8 pontos. Sabendo-se a taxa de aquisição,
15 quadros/s (Ver fig.1), sabemos então o intervalo de tempo entre
cada ponto, pois sabemos que os mesmos distam de 10 quadros. Veja a figura
2.
(Fig.2 - A cada 10 quadros marcou-se um ponto, num total
de 8 pontos)
A distancia
entre os pontos foi determinada utilizando uma ferramenta do S.A. M. que
é a régua virtual. Arrastando essa régua de um ponto
a outro o programa calcula a distancia, já convertida em centímetros.
2.3. Discussão dos resultados
Após a demarcação
dos pontos e posterior cálculo das distâncias, os resultados
obtidos foram armazenados em uma tabela:
Tabela 1: Dados extraídos a partir do S.A.M.
|
Espaço (s)
cm
|
Tempo s
|
Variação de espaço
cm
|
Variação de tempo
s
|
Velocidade
cm/s
|
S1
|
0,00
|
0,00
|
-
|
-
|
-
|
S2
|
5,98
|
0,67
|
5,98
|
0,67
|
8,92
|
S3
|
13,51
|
1,34
|
7,53
|
0,67
|
11,24
|
S4
|
19,75
|
2,01
|
6,24
|
0,67
|
9,31
|
S5
|
25,72
|
2,68
|
5,97
|
0,67
|
8,91
|
S6
|
32,47
|
3,35
|
6,75
|
0,67
|
10,07
|
S7
|
37,15
|
4,02
|
4,68
|
0,67
|
6,98
|
S8
|
42,08
|
4,69
|
4,93
|
0,67
|
7,36
|
Em seguida
plotamos os gráficos do Espaço em função do
tempo e da Velocidade em função do tempo:
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(gráfico1.
Espaço em função do tempo)
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(gráfico2.
Velocidade em função do tempo)
|
O gráfico 1, como podemos
ver, remete a uma reta crescente do tipo y = ax + b, onde a
mede a inclinação da reta e b onde o gráfico
intercepta o eixo x.
Se lembrarmos da equação
horária do movimento veremos que S = S0 + Vt, onde agora
o nosso a é representado pelo valor da velocidade
e o nosso b pelo valor do espaço inicial.
Se o gráfico
do espaço em função do tempo deu uma reta crescente
e obedecendo a equação horária, logo podemos concluir
que a velocidade é constante. Analisando agora o gráfico
2 vemos que realmente a velocidade tem uma tendência a um valor médio,
se aproximando de uma reta constante.
Nesse caso o valor
encontrado para a velocidade foi de 8,97 cm/s ou aproximadamente 9,00 cm/s.
Logo a equação horária que descreve o movimento da
tartaruga no tampo da mesma pode ser escrita como sendo:
S = S0 + Vt, como
S0 = 0 e V = 9 cm/s
S = 9t
2.4. Conclusão
Analisando o movimento
da tartaruga com o auxílio do software S.A.M., podemos concluir
que trata-se de um movimento retilíneo uniforme, pois a velocidade
da tartaruga aproxima-se de uma velocidade constante.
O software
S.A.M. nos permite analisar quase todos os tipos de movimentos, desde
retílineos, curvilíneos, lançamento vertical, queda
livre, massa-mola, enfim, uma infinidade de movimentos, com a facilidade
e comodidade de poder fazer toda a análise em frente ao seu computador.
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