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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Instituto de Física de São Carlos
Licenciatura em Ciências Exatas

Disciplina: Instrumentação para o Ensino
Professor Responsável: Prof. Dr. Dietrich Schiel
Colaboração: Iria Müller Guerrini

Autora: Aracéli Camargo Martins
e-mail: acm_usp@yahoo.com.br
ifsc

                          
  
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O Movimento Massa-Mola e A Lei de Hooke



              I - Movimento Harmônico Simples (MHS)
              Um dos comportamentos oscilatórios mais simples de se compreender é o Movimento Harmônico Simples, sendo encontrado em vários sistemas, podendo ser estendido a muitos outros com variações.
             Muitos comportamentos  oscilatórios surgem a partir da  existência de forças  restauradoras que  tendem a  trazer ou manter sistemas em certos estados ou posições, sendo essas forças restauradoras basicamente do tipo forças elásticas, obedecendo, portanto, a Lei de Hooke : F = - kX
           Um sistema conhecido que se comporta dessa  maneira é o sistema massa-mola  (observe a Figura 1). Consiste em um corpo com massa de valor m, presa por uma das extremidades a uma certa mola de fator de restauração k (também chamado constante de deformação), enquanto a outra extremidade está ligada a um ponto fixo.
             
massa-mola

Figura 1: Sistema Massa-Mola

           

               Sistema Massa-Mola
         
             Esse sistema possui um  ponto de equilíbrio ao qual chamaremos de ponto 0 (x = 0). Toda vez  que tentamos tirar o nosso sistema desse ponto 0, surge uma força restauradora: F = -kX,  que tenta trazê-lo de volta a situação inicial.
               A posição  -Xm  representará  a mola  comprimida,  enquanto que a posição  +Xm  representará a mola  estendida (observe a Figura 1).
             À medida que afastamos o bloco de massa m da posição de equilíbrio, a força restauradora vai aumentando (estamos tomando o valor de X crescendo positivamente à direita do ponto de equilíbrio e vice-versa), se empurrarmos o bloco de massa m para a esquerda da posição 0, uma força de sentido contrário e proporcional ao deslocamento X surgirá tentando manter o bloco na posição de equilíbrio 0.
               Se puxarmos o bloco de  massa m, representado pela  Figura 1 e, em seguida, o soltarmos, veremos o nosso sistema oscilando.
               
               Agora pense e responda:

               Você saberia dizer por quê o nosso sistema oscila? Qual será a relação entre a ação da  força restauradora e o fato de nosso sistema oscilar?

             Se você já respondeu, espero que tenha acertado. Mas se não conseguiu, agora vai conseguir... Com base nas explicações que seguirão, abordaremos o tipo de movimento realizado por nosso sistema massa-mola e a natureza matemática deste tipo de movimento.


               Características do Movimento Harmônico Simples (MHS)
               Para compreender melhor este comportamento, observe as Figuras 2 e 3, que seguem abaixo.

 pendulo
Figura 2: Movimento Harmônico de um Pêndulo

                               
movimento massa-mola
Figura 3: Movimento Harmônico de um Pêndulo - esquema geral

               Uma possível explicação para esse tipo de movimento poderia sair de uma análise das forças existentes no sistema massa-mola.
              Sabendo-se que a força aplicada no bloco m do nosso sistema massa-mola na direção do eixo X será igual à força restauradora exercida pela mola sobre o bloco na posição X aonde o mesmo se encontrar (Terceira Lei de Newton), podemos escrever a seguinte equação:
F (X) = - kX
               Passando o segundo termo para o primeiro membro temos:
F (x) + kX = 0
               Usando da Primeira Lei de Newton, sabemos que F(X) = ma(X), o que nos leva a:
ma(X) + kX = 0
               É possível verificar também que  X = X(t), já que a posição de X varia  com o tempo enquanto o nosso sistema oscila, nos restando a seguinte equação:
 ma(X(t)) + kX(t) = 0
             
               Mas como é possível medir a força exercida pela mola?
               Para medir forças, um dos instrumentos utilizados é o dinamômetro de mola.
              O dinamômetro de mola é  constituído de uma  mola  helicoidal, tendo  na sua extremidade  superior um  cursor que desliza sobre uma escala previamente graduada quando o dinamômetro é calibrado. Na outra extremidade da mola é aplicada a força (F) que se quer medir.
          O dinamômetro funciona baseado na Lei de Hooke. Quando a deformação  X  da mola é elástica, cessando a ação da força  (F)  que produziu a deformação, a mola volta à posição inicial devido à ação da força elástica (Fel) intrínseca à mola (Figura 3).


               A Lei de Hooke
               Hooke estabeleceu uma lei que relaciona a Força Elástica (Fel) com a deformação X produzida na mola que é a seguinte:
"A intensidade da força elástica (Fel) é proporcional à deformação X".
(Enunciado da Lei de Hooke)

               Matematicamente, o que temos é:   Fel = k X      (Lei de Hooke)
               Ou vetorialmente:  Fel = - k X ,  onde K é a constante elástica da mola.
               No Sistema Internacional, a unidade da constante elástica da mola é 1N/M.

            É importante ressaltar que o sinal negativo observado na expressão vetorial da Lei de Hooke, significa que o vetor Força Elástica (Fel) atua no sentido contrário ao vetor deformação X.


               
II. Análise experimental do movimento massa-mola
                Passemos agora para a análise do movimento proposto pelo presente trabalho.
            Considere um corpo oscilando na direção vertical,  conforme ilustrado na  Figura 4.  Analise  detalhadamente o movimento proposto, e conclua você mesmo a veracidade da Lei de Hooke.



Figura 4: Clique aqui para ver a imagem do movimento: movimento massa-mola


S (cm) t (s) S (cm) t (s) V (cm/s) V (cm/s) a (cm/s2)
0,0 0,0






7,51 0,066 113,79

7,51 0,066


- 5,58 - 84,54


7,25 0,067 108,21

14,76 0,133


- 18,81 - 280,74


5,99 0,067 89,40

20,75 0,20


- 13,64 - 203,58


5,00 0,066 75,76

25,75 0,266


-16,06 - 239,70


4,00 0,066 59,70

29,75 0,333




Tabela 1: Valores obtidos experimentalmente através da análise do movimento em questão.
               
            Vale  ressaltar que os valores  apresentados na tabela 1, referem-se apenas à análise do movimento  a favor da gravidade, ou seja, durante a descida. É importante  lembrar ainda que os pontos destacados para o estudo foram aqueles a partir do seu  ponto de equilíbrio.
              No ponto de equilíbrio do movimento, a aceleração é nula, enquanto que acima deste, a aceleração é positiva, e abaixo, negativa. Então, os valores comprovam que nossa análise se baseou nos pontos abaixo do ponto de equilíbrio.
               Mas você deve estar se perguntado: Por quê a aceleração apresenta valores negativos quando o movimento está a favor da gravidade?
                  A aceleração é negativa porque a força elástica, que atua contrária à gravidade, é maior que a força peso.
                O que acontece é que quando aplicamos uma força externa  à mola,  surge nesta, uma força intrínseca à mola, que atua no sentido contrário ao da força externa, denominada força elástica.