Movimento Circular.

 

   Introdução – Dizemos que uma partícula está em movimento circular quando sua trajetória é uma circunferência como, por exemplo, a trajetória descrita por uma válvula do pneu de uma bicicleta em movimento igual a da imagem. Se, além disso, o valor da velocidade permanecer constante, o movimento é denominado circular uniforme. Então, neste movimento, o vetor velocidade tem módulo constante, mas a direção deste vetor varia continuamente.

   A figura abaixo mostra a variação de direção do vetor velocidade em alguns pontos.

                                            

  O tempo que a partícula gasta para efetuar uma volta completa é denominada período do movimento e é representado por T. O espaço percorrido pela partícula, durante um período, é o comprimento da circunferência que, vale 2pR ( R é o raio da trajetória). Como o movimento é uniforme, o valor da velocidade será dado por:                                      logo, v = 2pR/T

 

   Freqüência do movimento circular –  suponha que observando a válvula mostrada na imagem, verificássemos que ela efetua 30 voltas completas em um tempo igual a 10 segundos. A freqüência, F desse movimento é, por definição, o quociente entre o número de voltas e o tempo gasto para efetua-las. Logo, a freqüência da válvula será:

                                   

  Observe que esse resultado significa que a válvula efetuou 3.0 voltas em cada 1 seg. A unidade de freqüência,1 volta/seg, é denominada 1 hertz, em homenagem ao cientista alemão H.Hertz ( 1857 – 1894). Portanto, podemos destacar:

                      

  O conceito de freqüência pode ser aplicada em outros tipos de movimentos, que não serão discutidos aqui.

  A freqüência e o período de um movimento estão relacionados. Para relacionar F e T, basta perceber que essas grandezas são inversamente proporcionais e, assim podemos estabelecer a seguinte proporção:

  No tempo T (um período) é efetuada uma volta

  Na unidade de tempo serão efetuadas F voltas ( freqüência)

    Ou, esquematicamente

 

  

  Portanto, a freqüência é igual ao inverso do período e reciprocamente. Por exemplo: se o período de um movimento circular é T = 0,5 s, sua freqüência será:

                             

                      

 

   Velocidade Angular – Consideremos a válvula do pneu de bicicleta em movimento circular, passando pela posição P1 representada na figura abaixo. Após um intervalo de tempo Dt, a válvula estará passando pela posição P2. Neste intervalo de tempo Dt, o raio que acompanha a válvula em seu movimento descreve um ângulo Dq

                                    

                                                         

 A relação entre o ângulo descrito pela válvula e o intervalo de tempo gasto para descreve-lo é denominado velocidade angular da partícula.Representando a velocidade angular por w temos

                                                         w = Dq/Dt

 

  A velocidade definida pela relação V = Dd/Dt, que já conhecemos, costuma ser denominada velocidade linear, para distingui-la da velocidade angular  que acabamos de definir. Observe que as definições de V e w são semelhantes: a velocidade linear se refere à distância percorrida na unidade de tempo, enquanto a velocidade angular se refere ao ângulo descrito na unidade de tempo.

  A velocidade angular nos fornece uma informação sobre a rapidez com que a válvula está girando. De fato, quanto maior for a velocidade angular de um corpo, maior será o ângulo que ele descreve por unidade de tempo,isto é , ele estará girando mais rapidamente.

  Lembrando que os ângulos podem ser medidos em graus ou em radianos, concluímos que w  poderá ser medida em grau/s ou em rad/s.

  Uma maneira de calcular a velocidade angular é considerar a válvula ( ou uma partícula qualquer) efetuando uma volta completa. Neste caso, o ângulo descrito será Dq =2prad e o intervalo de tempo será um período, Istoé, Dt = T. Logo,

                                                       w = 2p/T

 

  Relação entre V e w - Sabemos que, no movimento circular uniforme, a velocidade linear pode ser obtida pela relação

                                                      

Como 2p/T é a velocidade angular, concluímos que

                                                    

  Esta equação nos permite calcular a velocidade linear V, quando conhecemos a velocidade angular w e o raio R da trajetória.

Observe que ela só é válida se os ângulos estiverem medidos em radianos.

 

  Aceleração centrípeta – No movimento circular uniforme, o módulo da velocidade da válvula permanece constante e, então, a válvula não possui uma aceleração tangencial. Entretanto, como a direção do vetor velocidade varia continuamente, a válvula (ou uma partícula qualquer nas mesmas condições) possui uma aceleração centrípeta  Na figura abaixo estão representados os vetores e  em quatro posições diferentes da válvula do pneu de bicicleta. Observe que o vetor  tem a direção do raio e aponta sempre para o centro da circunferência.

                                          

  Podemos deduzir, matematicamente, que o valor da aceleração centrípeta no movimento circular é dado por:                    

                                                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Observe que o valor de é proporcional ao quadrado da velocidade e inversamente proporcional ao raio da circunferência. Portanto, se um automóvel faz uma curva “fechada” (R pequeno) com grande velocidade, ele terá uma grande aceleração centrípeta. Estes fatos estão relacionados com a possibilidade de o automóvel conseguir ou não fazer a curva.

Clique duas vezes aqui para ver a demonstração do movimento circular

 

 

 

 

                             

 

Demonstração da Velocidade Angular ()Através das imagens filmadas

Objetivo - Demonstrar os cálculos da velocidade angular através de imagens em movimentos.

Mostrar, através de resolução de exercício, a aplicação da velocidade angular.

Introdução - A velocidade angular média ,w, é a razão entre a variação angular,Dq, e a variação de tempo, DT, que obedece a equação abaixo:

w = Dq/DT

Se, em um movimento circular, conseguimos medir o ângulo e o tempo, poderemos calcular a velocidade angular do movimento. Através deste cálculo poderemos resolver inúmeros problemas. Com o auxílio do programa de computador foi possível realizar os cálculos com bastante precisão.

Desenvolvimento: Através de programa de computador foram capturadas as imagens de uma roda de bicicleta que havia sido filmado anteriormente (imagens mostrada abaixo)

Foi tomado como referência a válvula e os raios da bicicleta.

O sentido que o movimento foi descrito é o sentido horário.

Entre as ferramentas que o programa oferece estão o marcador de posição e o transferidor virtual, que foram usados na apresentação.

A filmagem foi feita em uma proporção de 15 quadros por segundos. Então, quando mudamos a imagem a um quadro para a frente obtemos a variação de 1/5 de segundos, ou seja, 0,067 segundos em cada quadro.

As marcações foram feitas com o marcador virtual nos pontos, P, que variam desde p1 até p9, mudando os pontos de acordo com as mudanças quadro a quadro da imagem.

Com o auxílio do transferidor virtual, Foram medidos os graus em cada ponto, tendo como referência a horizontal.

A seguir será mostrado uma tabela contendo os pontos, P, a variação angular, o tempo, e a velocidade média em cada quadro.

Tabela de Velocidade Angular

p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9
Pos. Angular D 180o 157o 135o 113o 90o 65,88o 45o 22,8o 0o
Dq em graus - 23o 22o 22o 23o 24,12o 20,88o 22,2o 22,8o
Tempo s - 0,067 0,067 0,067 0,067 0,067 0,067 0,067 0,067
vel.ang.media g/s - 343,28 328,36 328,36 343,28 360,00 311,64 331,34 340,30
vel.ang.media rad/s - 1,907 1,82 1,82 1,907 2,0 1,731 1,84 1,89

Quando calculamos a média das velocidades angulares médias obtemos: 2685,56/8=335,82
Quando calculamos a velocidade média entre os pontos p1 e p9, obtemos 180o/0,5333=337

Observe abaixo, um exercício relacionado a Velocidade Angular Média:

“Uma partícula descreve um movimento circular uniforme, com uma velocidade escalar V= 5m/s. Sendo R = 2m o raio da circunferência, determine a velocidade angular.”

Resolução _- sendo V = 5m / s a velocidade escalar e R = 2 m o raio da circunferência, a velocidade angular e será dado por

V = .R

De onde = V / R

= 5 / 2 = 2,5 rad/s = 450 g / s

Bibliografia consultada:

Ferraro, Nicolau Gilberto, 1940.

    Aulas de física / Nicolau Gilberto Ferraro, Paulo Antônio de Toledo Soares, José Ivan Cardoso dos Santos. – São Paulo: Atual, 1984.

Páginas: 101, 102, 103.

 

Alvarenga Álvares, Beatriz.

Curso de física vol. 1

    Beatriz Alvarenga Álvares, Antônio Máximo Ribeiro da Luz. – São Paulo: Harbra  Ltda.

Páginas: 137 a 140.