Universidade de São Paulo

Instituto de Física de São Carlos

Licenciatura em Ciências Exatas

Disciplina: Instrumentação para o Ensino

 

 

Pêndulo Simples

 


Este trabalho consiste em apresentar uma breve história sobre a contagem do tempo e sobre o revolucionário Pêndulo Simples, com aplicações físicas e um exemplo prático de como utilizá-lo para medir com precisão a aceleração da gravidade .

 

 

 

Aluno: Manoel Batista Pratavieira

Prof. Dr.: Dietrich Schiel

 

 

São Carlos, setembro de 2001

 

 

 


Um pouco de História das incríveis máquinas do tempo

Sol, água, areia, pêndulo, quartzo e césio, são os principais meios de que o homem já utilizou para a contagem do tempo.

O mais antigo instrumento para medir a duração do dia foi o relógio solar, como o gnômon egípcio, datado de 3500 a 3000 a.C. Consiste em um mastro vertical ficando sobre uma base. O tempo é medido de acordo com a sombra projetada pelo mastro. Por volta do século VIII a.C., esses instrumentos se tornaram mais preciosos, à medida que marcas passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra.

Os gregos integraram os relógios solares a sistemas de considerável complexidade, nos quais se mediam os momentos do Sol, da Lua e das estrelas. Nasceu assim o relógio astronômico.

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a medição do tempo. Com a invenção do astrolábio, por Ptolomeu, no século II d.C., tornou-se possível calcular, de acordo com a posição do Sol, a duração do dia ou da noite, assim como prever o levantar e o cair de um astro no firmamento e a hora do crepúsculo e da aurora.

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um líquido. Os relógios de água eram usados pelos egípcios para marcar o tempo à noite, ou quando não havia sol. No Museu do Cairo existe um exemplar, fabricado na época do faraó Amenófis III, em 1400 a.C.

Era um recipiente cheio de água, com um pequeno furo no fundo, que deixava escorrer o líquido para outro recipiente, marcado com escalas. De acordo com o nível da água, podia-se saber o tempo.

Esses instrumentos foram aperfeiçoados por mecanismos que tornavam constante a pressão da água que escoava; por exemplo, a colocação de canos que jogavam continuamente líquido no primeiro reservatório. Um dos mais bem elaborados sistemas da Antigüidade foi a Torre dos Ventos, construída em 75 a.C. aos pés do Partenon, em Atenas uma torre de 20 metros de altura, com nove quadrantes solares, um catavento, uma clepsidra (o nome do relógio a água), além de outros instrumentos. Também os chineses apreciavam esse tipo de relógio. O que foi feito, já no ano de 1090, para o imperador Su Sung indicava as doze horas do dia, tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era enfeitado com autômatos.

Mas foi só no primeiro século da era cristã que surgiu o mais conhecido dos medidores de tempo anteriores ao relógio mecânico: a ampulheta. Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente de vidro para outro, através de uma estreita ligação. Nos séculos XVI e XVII, foram feitas ampulhetas para funcionar durante períodos de quinze e trinta minutos.

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o relógio mecânico, surgido no século XIV. Ele tornou possível a civilização industrial e fixou a idéia de desempenho na atividade humana.

Até Idade Média, o tempo era percebido como uma coisa natural. Ao inverno seguia-se a primavera, o verão; a manhã vinha depois da madrugada, que por sua vez sucedia à noite, a contagem do tempo se fazia por longos períodos, meses e anos, materializados nos calendários. Nos conventos, especialmente, nem hora existia. O dia era dividido de acordo com o ritual dos ofícios. Como não havia uma medida universal, cada convento tinha sua hora, assim como cada cidade vivia segundo seu ritmo.

O relógio mecânico figura entre as supremas invenções da humanidade, sendo das mesma ordem que a da imprensa, por suas conseqüências revolucionárias em relação aos valores culturais, às mudanças técnicas, à organização política e social e à personalidade. Foi o relógio que tornou possível uma civilização atenta ao tempo portanto à produtividade e ao desempenho.

E o que diferenciou tecnicamente o relógio mecânico dos que o antecederam? Antes de mais nada, o relógio mecânico é movido por um peso. A energia da queda desse peso é transmitida através de um trem de engrenagem, formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas outras e movimentam as agulhas do mostrador. O problema é que uma força aplicada continuamente produz uma aceleração. Logo, se nada se opusesse à descida do peso, ele imprimiria um movimento cada vez mais rápido à engrenagem. O que os sábios da Idade Média descobriram foi justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e frear o movimento das rodas e agulhas, de modo a criar um movimento de oscilação com um batimento regular o vaivém continuo característico dos relógios.

Isso foi possível graças a uma pecinha composta de duas palhetas presa a um eixo horizontal móvel, que se engrenam alternadamente sobre uma roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro), localizada verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso. Os impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha oscilar sobre seu eixo de maneira regular; este movimento, então, é transmitido ao trem de engrenagem, que movimenta as agulhas. O aparecimento, dos primeiros relógios mecânicos causou uma febre nas cidades européia que começavam a sacudir a modorra medieval. Cada burgo queria ter seu relógio não apenas por uma questão de prestígio, mas também porque a atração trazia viajantes, portanto dinheiro, para a localidade.

Já para os operários das cidade mais desenvolvidas, principalmente na Itália e em Flandres, onde já existiam uma florescente indústria têxtil, um movimentado comércio, a novidade não era assim tão boa. O relógio. passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da jornada. Em algumas cidades, os operários chegaram a se rebelar contra isso. Por exemplo, em Pádua, em 1390, a torre que abrigava o relógio de Dondi foi atacada.

Em 1656, na cidade de Haia, Holanda, Christian Huygens (1629-1695) concebeu um relógio de pêndulo com escapo, que substituiu o fuso como instrumento regulador da força da mola. Ao contrário dos outros progressos da relojoaria, porém, essa invenção foi antes de tudo teórica. No lugar do fuso regulador da mola-motor, Huygens imaginou um pêndulo, suspenso livremente por um cordão ou um fio. Esse achado reduziu a margem de erro dos relógios de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ou quinze segundos, o relógio se tornara enfim um instrumento realmente confiável para medir o tempo.

A Revolução Industrial do século XVIII na Inglaterra deu uma nova importância à hora. As relações de produção passaram a se fazer de maneira mais sistematizada, com a reunião dos operários dentro de fábricas. Habituados ainda a trabalhar segundo seu próprio ritmo, de acordo com a tradição herdada das corporações de ofício dos artesãos medievais, os operários se revoltaram contra as implacáveis máquinas do tempo. Com a desconfiança de que os patrões roubavam nas horas, adiantando ou atrasando, os operários começaram a adquirir seus próprios relógios, com isso a indústria de relógios cresceu e estes tornaram-se mais baratos a medida que sua produção tornou-se seriada.

Nada, porém, popularizaria tanto o relógio como uma descoberta de 1880. Os irmãos Pierre e Jacques Curie, cientistas franceses, descobriram que um pedaço de cristal de quartzo, cortado na forma de uma lâmina ou de um anel e colocado a vácuo num circuito elétrico e em baixa temperatura, vibra 32758 vezes por segundo, como um pêndulo ultra-rápido.

Em 1925, pesquisadores dos Laboratórios Bell, nos Estados Unidos, construíram o primeiro oscilador a quartzo. Mas, então, os relógios a quartzo eram ainda quase tão grandes quanto uma geladeira e assim permaneceriam por muito tempo. Pode-se considerar o 9º. Congresso Internacional de Cronometria, em Paris, em setembro de 1969, como a verdadeira data de nascimento da indústria do relógio a quartzo. Pois foi ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo eletrônico.

O relógio a quartzo tinha dado um golpe mortal na indústria relojoeira clássica assim como o relógio atômico a césio tiraria do observatório de Greenwich, na Inglaterra, o privilégio de fornecer a hora oficial do mundo.


A física aplicada no Pêndulo Simples

Um pêndulo simples é um corpo ideal que consiste de uma partícula suspensa por um fio inextensível e de massa desprezível. Quando afastado de sua posição de equilíbrio e solto, o pêndulo oscilará em um plano vertical sob à ação da gravidade; o movimento é periódico e oscilatório, sendo assim podemos determinar o período do movimento.

A figura acima exemplifica um pêndulo de comprimento L, sendo m a massa da partícula. No instante mostrado, o fio faz um ângulo q com a vertical. As forças que atuam em m são o peso m.g e a tração da corda T. O movimento será em torno de um arco de círculo de raio L; por isto, escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro tangente ao círculo. O peso m.g pode ser decomposto numa componente radial de módulo m.g.cosq e numa componente tangencial m.g.senq . A componente radial da resultante é a força centrípeta que mantém a partícula na trajetória circular. A componente tangencial é a força restauradora onde o sinal negativo indica que F se opõe ao aumento de q .

Note que a força restauradora não é proporcional ao deslocamento angular q e sim a senq . O movimento portanto não é harmônico simples. Entretanto, se o ângulo q for suficientemente pequeno, senq será aproximadamente igual a q em radianos, com diferença cerca de 0,1% e o deslocamento ao longo do arco será x = L .q e, para ângulos pequenos, ele será aproximadamente retilíneo. Por isto, supondo sen q » q ,

Obteremos:

F = - m.g. q = - m.g. (x/L) = - (m.g/L).x (2)

Para pequenos deslocamentos, a força restauradora é proporcional ao deslocamento e tem o sentido oposto. Esta é exatamente a condição para se ter movimento harmônico simples e, de fato, a equação (2) acima tem a mesma forma que a equação, F = - k . x, com m.g/L representando a constante k. Para pequenas amplitudes, o período T (tempo de um ciclo) de um pêndulo pode ser obtido fazendo-se k = m. g /L

T = 2p (m / k)1/2 = 2p (m / (m .g / L)) 1/2

T = 2p (L / g)1/2

O Pêndulo Simples, através da equação acima, também fornece um método para medições do valor de g , a aceleração da gravidade. Podemos determinar L e T, usando equipamentos de um laboratório de ensino, obtendo precisão melhor do que 0,1%.

g = 4p 2L / T2

Note que o período T , é independente da massa m, da partícula suspensa.

Durante os últimos três séculos, o pêndulo foi o mais confiável medidor de tempo, sendo substituído apenas nas últimas décadas por oscilações atômicas ou eletrônicas. Para um relógio de pêndulo ser um medidor de tempo preciso, a amplitude do movimento deve ser mantida constante apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecânico, Variações na amplitude, tão pequenas quanto 4° ou 5°, fazem um relógio adiantar cerca de 15 segundos por dia, o que não é tolerável mesmo em um relógio caseiro. Para manter constante a amplitude é necessário compensar com um peso ou mola, fornecendo energia automaticamente, compensando as perdas devidas ao atrito.


Determinando a aceleração da gravidade

Utilizando material muito simples, pode-se medir com boa precisão a aceleração da gravidade local, bem como introduzir o método científico a partir de situações experimentais, esta experiência é muito interessante para os alunos.

 

MATERIAL:

 

MÉTODO:

Os pesos de chumbo já são perfurados ao meio, o que torna-os fácil de serem amarrados por uma linha de pesca. Uma vez fixado o peso de chumbo, corte a outra extremidade da linha maior que 2m, amarrando-a com um laço em um prego fixo na parede ou numa tábua, com altura acima de 2m, deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o ponto amarrado 2m de extensão, constituindo-se num bom pêndulo simples. Estas operações são muito simples e podem ser feitas pelos alunos, sem restrição quanto ao diâmetro de linha de pesca (identificado pelo número no carretel e os pesos utilizados).

É bom que os aluno já tenham experiências prévias de medição de espaço com fita métrica e de tempo com relógio de pulso que marque segundos, caso contrário pode-se solicitá-los a fazer algumas medidas de dimensões de alguns objetos e de tempo de algum movimento.

Com o pêndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que relacionem as variáveis envolvidas no fenômeno, tais como: o tempo de ida e volta, ou seja o período, o comprimento do fio, a massa das chumbadas (tendo-se uma balança por perto, podem ser aferidas), o ângulo entre o fio e a vertical, o diâmetro do prego de sustentação, a hora do dia, a temperatura da sala, etc... Com o universo de grandezas definido, pede-se que definam quais delas são relevantes para o período T. Não é necessário que o professor imponha suas preferências. Se um determinado grupo de alunos (é aconselhável no máximo 3 por experimento) considerar que o comprimento do pêndulo é uma variável irrelevante, sugira-lhe que meçam o período para dois comprimentos bem diferentes, de 2m e 0,5m por exemplo.

Qual a melhor maneira de medir o período? Coloque este problema aos alunos numa situação onde o comprimento do pêndulo é menor que 20cm. Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente períodos da ordem de 1s, e o fato de que o período varia muito pouco com 10 oscilações.

Uma das soluções é medir o tempo de 10 oscilações, 3 vezes. As 3 medidas não devem discordar muito entre si, e a média dessas 3 medidas deve ser utilizada. Este tempo médio deve ser dividido por 10, que são as 10 oscilações, do resultado temos com boa precisão o valor do período de uma oscilação, mesmo se utilizando de um simples relógio de pulso. Pode ser que um aluno vá anotando os dados conforme exemplo da tabela 1 abaixo, outro contando o número de vezes em que o pêndulo vai e volta, e outro cronometrando, sugere-se que a cada medição revezem suas funções.

Determinando o conjunto de observações (ou variáveis) relevantes, resta saber de quais delas depende o período. Para fixarmos idéias vamos nos deter nas variáveis principais: comprimento do fio; massa do chumbo; diâmetro do fio e o ângulo (q ) entre a vertical e o deslocamento inicial do fio. Para conhecer quais variáveis que influenciam o fenômeno, deve se fixar 3 quaisquer variáveis a outra, apesar do período só depender do comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da chumbada influencia o período. Às vezes é conveniente solicitar de antemão que o ângulo q seja inferior a 20º o que pode ser descoberto pelos próprios alunos, pois se abaixo de 15º o período não depende do ângulo inicial, para grandes valores do ângulo q isto já é verdade, basta ver o caso limite de q =180º, quando o peso torna-se um objeto de queda livre simplesmente.

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1.

Tabela 1

L(m)

T1(s)

T2(s)

T3(s)

T=(T1+T2+T3)/3 (s)

t(s)=T/10

variáveis

           

m= ?

           

d= ?

           

D= ?

Fazer alterações em uma variável por vez e manter as outras fixas:

  • m = massa da chumbada
  • d = diâmetro da linha
  • D = diâmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as grandezas que fixou anteriormente. Caso isto não seja possível deve-se comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiência com massas diferentes, ângulos q diferentes e fios diferentes, onde deve ficar claro para o aluno que este procedimento é equivalente a variar a massa, o ângulo e o diâmetro da linha por exemplo.

DISCUSSÃO:

Deve ficar claro para o aluno que o período de um pêndulo, que a princípio poderia depender de muitas observáveis, só depende do comprimento. Essa dependência não é qualquer, mas a razão de T²/L é aproximadamente constante, ou seja T² = k .L .

Apesar de que a experiência pode ser desenvolvida para estudantes de qualquer nível a discussão dos resultados e a teoria envolvida depende do conhecimento prévio do aluno. De qualquer modo a confecção de um gráfico linear com y = T² ou y = m .x em função de x = L, é de grande interesse para alunos de 2º grau.

A aceleração da gravidade g pode ser obtida através do coeficiente angular m, dos gráficos com os valores de x e y acima e aplicando na equação abaixo:

g = 4p 2/m

Com a equação abaixo do período T do pêndulo simples, podemos determinar a aceleração da gravidade g.

T = 2p (L / g)1/2

g = 4p 2L / T2

Uma dedução matemática rigorosa das fórmulas acima não é de todo simples. Em analogia com o movimento harmônico simples pode-se seguir o desenvolvimento em Física Vol. 1 - Beatriz Alvarenga e Antônio Máximo - pg (146), para alunos universitários a dedução proposta por Física -II-I, Halliday-Resnick - seção 15-5, ou outros livros que abordam este assunto.

Apesar da simplicidade de construção, pode-se discutir muitos outros conceitos fundamentais, tais como:

a) Equivalência entre massa inercial e gravitacional, na dedução das equações acima citadas.

b) O fato de que o pêndulo simples é um modelo de uma massa pontual, pode-se levar em consideração a que o comprimento medido do pêndulo deve ser entre o ponto de fixação e o ponto médio da massa, ou seja o centro de gravidade. Aqui é uma boa oportunidade de se introduzir o conceito de centro de massa ou gravidade.

c) Apesar do fato de que o período só depende do comprimento já ser do conhecimento de Galileu, o desenvolvimento do pêndulo simples, e a construção do primeiro relógio deve-se ao cientista amador holandês Cristian Huygens, por volta de 1656. Sua preocupação principal era construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na navegação marítima, que era a determinação da longitude em qualquer lugar no oceano. Pode-se discutir entre os alunos de como às vezes alguns desenvolvimentos técnicos e científicos partiram da necessidade humana de resolver problemas concretos.

d) A construção de um pêndulo que bate segundos poderá ser uma ótima atividade para casa.

e) A discussão do pêndulo composto, do pêndulo de Foucault é outro desenvolvimento possível.

f) É de grande utilidade uma discussão sobre algarismo significativos e gráficos, através de uma análise de dados obtidos.

Com esta prática podemos explicitar aos alunos algumas observações como: o período do pêndulo depende da gravidade, e que uma das principais propriedades do pêndulo é a regularidade das suas oscilações. Por este motivo, os pêndulos eram usados em relógios. Observamos também que a massa do pêndulo não influencia no resultado do período, mas o comprimento sim, por isso é que os relógios de maior precisão, possuem o pêndulo de maior comprimento.

Referências Bibliográficas