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Vetores

Grandezas Escalares

Grandezas físicas como tempo, por exemplo, 5 segundos, ficam perfeitamente definidas quando são especificados o seu módulo (5) e sua unidade de medida (segundo). Estas grandezas físicas que são completamente definidas quando são especificados o seu módulo e a sua unidade de medida são denominadas grandezas escalares. A temperatura, área, volume, são também grandezas escalares.

Grandezas Vetoriais

Quando você está se deslocando de uma posição para outra, basta você dizer que percorreu uma distância igual a 5 m?

Você precisa especificar, além da distância (módulo), a direção e o sentido em que ocorre este deslocamento.

Quando o PUCK sofre um deslocamento de uma posição A para uma posição B, esta mudança de posição é definida pelo segmento de reta AB orientado, que une a posição inicial com a final, denominado neste caso de deslocamento (fig. 1).

Figura 1 - Deslocamento do PUCK de uma posição A para B.


Observe que o deslocamento não fica perfeitamente definido se for dada apenas a distância percorrida (por exemplo, 5,0 cm); há necessidade de especificar a direção e o sentido do deslocamento. Estas grandezas que são completamente definidas quando são especificados o seu módulo, direção e sentido, são denominadas grandezas vetoriais.

Outras grandezas vetoriais: velocidade, aceleração, força. . .

Vetores

A representação matemática de uma grandeza vetorial é o vetor representado graficamente pelo segmento de reta orientado (Fig. 1), que apresenta as seguintes características:

Notação:

Exemplo de vetores: a fig. 2 representa um cruzamento de ruas, tal que você, situado em O, pode realizar os deslocamentos indicados pelos vetores d1, d2, d3, e d4. Diferenciando estes vetores segundo suas características, tem-se que:

Os vetores d1 e d3 têm a mesma direção, mesmo módulo, e sentidos opostos.

Os vetores d2 e d4 têm a mesma direção, módulos diferentes e sentidos opostos.

Os vetores d1 e d2 têm o mesmo módulo, direções e sentidos diferentes.

Os vetores d3 e d4 têm módulos, direções e sentidos diferentes.



Figura 2 - Vetores deslocamento.


Adição de dois vetores

Considere que o PUCK realizou os seguintes deslocamentos: 3,0 cm na direção vertical, no sentido de baixo para cima (d1), e 4,0 cm na direção horizontal (d2), no sentido da esquerda para a direita (fig. 5).

O deslocamento resultante não é simplesmente uma soma algébrica (3 + 4), porque os dois vetores d1 e d2 têm direções e sentidos diferentes.

Há dois métodos, geométricos, para realizar a adição dos dois vetores, dr = d1 + d2, que são:


Figura 3 - Adição de dois vetores:
Método da triangulação
  • Método da triangulação: consiste em colocar a origem do segundo vetor coincidente com a extremidade do primeiro vetor, e o vetor soma (ou vetor resultante) é o que fecha o triângulo (origem coincidente com a origem do primeiro e extremidade coincidente com a extremidade do segundo) (Fig. 3).

  • Figura 4 - Adição de dois vetores:
    Método do paralelogramo
  • Método do paralelogramo: consiste em colocar as origens dos dois vetores coincidentes e construir um paralelogramo; o vetor soma (ou vetor resultante) será dado pela diagonal do paralelogramo cuja origem coincide com a dos dois vetores (Fig. 4). A outra diagonal será o vetor diferença.
  • Adição de dois vetores perpendiculares entre si

    Geometricamente, aplica-se o método da triangulação ou do paralelogramo (fig. 5) para determinar o vetor resultante dr.


    Figura 5 - Adição de dois vetores perpendiculares entre si


    Determina-se o módulo do vetor resultante aplicando-se o teorema de Pitágoras para o triângulo ABC da fig. 5.

    dr2 = d12 + d22

    (1)


    Aplicação numérica

    Sendo d1 = 3 cm e d2 = 4 cm, o módulo do vetor resultante dr é calculado substituindo estes valores em (1):

    dr2 = 32 + 42 = 25

    dr = 5 cm

    Observação: O vetor diferença é obtido de modo análogo ao vetor soma; basta fazer a soma do primeiro vetor com o oposto do segundo vetor.

    d = d1 + ( -d2)

    Componentes de um vetor

    Considere o vetor deslocamento d como sendo o da fig. 6a. Para determinar as componentes do vetor, adota-se um sistema de eixos cartesianos. As componentes do vetor d, segundo as direções x e y, são as projeções ortogonais do vetor nas duas direções.

    Notação:

    Vamos entender o que seriam estas projeções. Para projetar o vetor na direção x basta traçar uma perpendicular da extremidade do vetor até o eixo x e na direção y traça-se outra perpendicular da extremidade do vetor até o eixo y; estas projeções são as componentes retangulares dx e dy do vetor d (fig. 6a).

    Figura 6a - Os vetores dx e dy são as componentes retangulares do vetor d.


    Qual o significado das componentes do vetor? Significa que os dois vetores componentes atuando nas direções x e y podem substituir o vetor d, produzindo o mesmo efeito.

    Para determinar os valores destas componentes, aplicam-se as relações trigonométricas para o triângulo retângulo OAB (fig.6a ou 6b).






    Figura 6b - Triângulo retângulo OAB.



    Para o triângulo OAB da fig. 6b, que é o da mesmo da fig. 6a, valem as relações:

    sen = cateto oposto / hipotenusa = dy / d.

    Resolvendo para dy, tem-se que:

    dy = d sen

    componente vertical do vetor d na direção Y (2a)


    cos = cateto adjacente / hipotenusa = dx / d.

    Resolvendo para dx , tem-se que:

    dx = d cos

    componente horizontal do vetor d na direção X (2b)

    Aplicação numérica





    Considerando que o módulo do vetor deslocamento é igual a 3,0 m, e o ângulo que este deslocamento faz com a direção X é igual a 60o, determinar as componentes deste vetor, dx e dy.

    Substituindo em (2b):

    dx = d cos = 3,0 cos 60o = 3,0 * 0,50

    dx = 1,5 m


    Substituindo em (2a):

    dy = d sen = 3,0 sen 60o = 3,0 * 0,87

    dy aproximadamente 2,6 m

    ANÁLISE GRÁFICA DO MOVIMENTO
    Vetores velocidade e aceleração


    Movendo vetores

    Quando vamos fazer a adição ou a diferença de dois vetores graficamente, precisamos mover o vetor tal que ele tenha sua origem coincidente com um novo ponto.

    Vamos ver como se faz esta translação geometricamente.

    Figura 1
    (A) Os vetores deslocamento S1 e S2.
    (B) Movendo um vetor (S1).

    Para mover um vetor (S1) para uma nova posição temos que, primeiro, desenhar uma reta paralela com o auxílio de uma régua e um transferidor como mostra a fig. 1B, transportando o vetor paralelamente para a nova posição.

    Para colocar o comprimento do vetor na nova posição, pode-se usar um pedaço de papel ou um compasso para medir o comprimento na posição inicial e transportar esta medida para a nova posição. O erro é menor medindo-se desta forma do que com régua.

    Figura 2
    (A)
    Adição de dois vetores (triangulação).
    (B) Diferença entre dois vetores (triangulação).

    As fig. 2A e 2B mostram como se faz a adição e a diferença entre dois vetores S1 e S2 (fig. 1A), usando o método da triangulação.

    A adição de dois vetores (fig. 2A) foi realizada movendo-se o vetor S2 tal que a origem dele coincidisse com a extremidade de S1.
    O vetor soma S1 + S2 é o vetor que fecha o triângulo, cuja origem coincide com a origem do primeiro vetor e a extremidade coincide com a extremidade do segundo vetor.

    A diferença entre os dois vetores (S2 e S1) foi realizada movendo-se o vetor S1 (fig. 2B), considerando o vetor oposto (- S1).
    O vetor diferença S2 - S1 é o vetor que fecha o triângulo, cuja origem coincide com a origem do vetor S2 e a extremidade coincide com a extremidade do vetor - S1.

    Se quisermos a diferença S1 - S2 , devemos mover o vetor S2, considerando o oposto dele (-S2).


    Vetor velocidade

    Sabemos que V = S/t  =(S2 - S1)/t             (1)

    Podemos determinar a direção e o sentido do vetor V determinando a diferença entre dois vetores deslocamento graficamente, usando a regra do paralelogramo ou da triangulação (fig. 2B). O módulo é determinando dividindo-se a medida do vetor S por t.

    O vetor V tem a mesma direção e o mesmo sentido de S; o módulo de V é proporcional a S.


    Vetor aceleração

    O vetor aceleração é dado pela relação:

    A = V / t             (2)

    Esta relação pode se reescrita em função de S. Como V = S / t , substituindo em (2), obtemos:

    A = (S / t) /t

    A = S  / t2       (3)

    A vantagem da equação (3) é que expressando a aceleração em termos do vetor diferença S, a direção e o sentido do vetor A são os mesmos de S e o módulo de A é proporcional a S.

    Para determinar graficamente o vetor A, o primeiro passo é construir o vetor diferençça S. Este vetor aponta na mesma direção e sentido de A. Medimos o comprimento deste vetor S em centímetros, e em seguida dividimos o resultado por t2 (fig. 2).

    Repetindo este processo para cada duas posições sucessivas de uma trajetória, obtemos um quadro detalhado da aceleração do movimento.

    Vamos aplicar este processo, considerando que a trajetória do movimento do PUCK seja o da fig.3. (Huggins, 1979)


    Figura 3 - Determinando os vetores S1 e S2 em uma trajetória do PUCK

    Medindo os comprimentos destes vetores S1 e S2 (fig. 3) que são iguais a 1 cm e considerando os intervalos de tempo t1 e t2 entre duas posições sucessivas iguais a 0,1s, obtemos os valores das acelerações nas posições (1) e (2):

    A1 = A2 = S/t2 = (1 cm) / (0,1)2 = 100 cm/s2

    e a direção e o sentido de A1 e de A2 são os mesmos de S1 e S2, respectivamente.

    Deste modo obtemos as acelerações A1, A2, A3,...An graficamente.

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