Grandezas Escalares
Grandezas físicas como tempo, por exemplo, 5 segundos, ficam perfeitamente definidas quando são especificados o seu módulo (5) e sua unidade de medida (segundo). Estas grandezas físicas que são completamente definidas quando são especificados o seu módulo e a sua unidade de medida são denominadas grandezas escalares. A temperatura, área, volume, são também grandezas escalares.
Grandezas Vetoriais
Quando você está se deslocando de uma posição para outra, basta você dizer que percorreu uma distância igual a 5 m?
Você precisa especificar, além da distância (módulo), a direção e o sentido em que ocorre este deslocamento.
Quando o PUCK sofre um deslocamento de uma posição A para uma posição B, esta mudança de posição é definida pelo segmento de reta AB orientado, que une a posição inicial com a final, denominado neste caso de deslocamento (fig. 1).
Figura 1 - Deslocamento do PUCK de uma posição A para B.
Observe que o deslocamento não fica perfeitamente definido se for dada apenas a distância percorrida (por exemplo, 5,0 cm); há necessidade de especificar a direção e o sentido do deslocamento. Estas grandezas que são completamente definidas quando são especificados o seu módulo, direção e sentido, são denominadas grandezas vetoriais.
Outras grandezas vetoriais: velocidade, aceleração, força. . .
Vetores
A representação matemática de uma grandeza vetorial é o vetor representado graficamente pelo segmento de reta orientado (Fig. 1), que apresenta as seguintes características:
Direção do vetor - é dada pela reta suporte do segmento (30o com a horizontal).
Sentido do vetor - é dado pela seta colocada na extremidade do segmento.
ou d: vetor deslocamentoa: vetor aceleração
V: vetor velocidade
Exemplo de vetores: a fig. 2 representa um cruzamento de ruas, tal que você, situado em O, pode realizar os deslocamentos indicados pelos vetores d1, d2, d3, e d4. Diferenciando estes vetores segundo suas características, tem-se que:
Os vetores d1 e d3 têm a mesma direção, mesmo módulo, e sentidos opostos.
Os vetores d2 e d4 têm a mesma direção, módulos diferentes e sentidos opostos.
Os vetores d1 e d2 têm o mesmo módulo, direções e sentidos diferentes.
Os vetores d3 e d4 têm módulos, direções e sentidos diferentes.
Figura 2 - Vetores deslocamento.
 Figura 3 - Adição de dois vetores: Método da triangulação | |
 Figura 4 - Adição de dois vetores: Método do paralelogramo |
|
| dr2 = d12 + d22 |
(1)
Aplicação numérica
Sendo d1 = 3 cm e d2 = 4 cm, o módulo do vetor resultante dr é calculado substituindo estes valores em (1):
dr2 = 32 + 42 = 25
dr = 5 cm
Observação: O vetor diferença é obtido de modo análogo ao vetor soma; basta fazer a soma do primeiro vetor com o oposto do segundo vetor.
d = d1 + ( -d2)
Componentes de um vetor
Considere o vetor deslocamento d como sendo o da fig. 6a. Para determinar as componentes do vetor, adota-se um sistema de eixos cartesianos. As componentes do vetor d, segundo as direções x e y, são as projeções ortogonais do vetor nas duas direções.
Notação:
dy: componente do vetor d na direção y
Vamos entender o que seriam estas projeções. Para projetar o vetor na direção x basta traçar uma perpendicular da extremidade do vetor até o eixo x e na direção y traça-se outra perpendicular da extremidade do vetor até o eixo y; estas projeções são as componentes retangulares dx e dy do vetor d (fig. 6a).
Figura 6a - Os vetores dx e dy são as componentes retangulares do vetor d.
Qual o significado das componentes do vetor? Significa que os dois vetores componentes atuando nas direções x e y podem substituir o vetor d, produzindo o mesmo efeito.
Para determinar os valores destas componentes, aplicam-se as relações trigonométricas para o triângulo retângulo OAB (fig.6a ou 6b).
Figura 6b - Triângulo retângulo OAB.
Para o triângulo OAB da fig. 6b, que é o da mesmo da fig. 6a, valem as relações:
sen 
= cateto oposto / hipotenusa = dy / d.
Resolvendo para dy, tem-se que:
| dy = d sen |
componente vertical do vetor d na direção Y (2a)
cos = cateto adjacente / hipotenusa = dx / d.
Resolvendo para dx , tem-se que:
| dx = d cos |
componente horizontal do vetor d na direção X (2b)
Aplicação numérica
Considerando que o módulo do vetor deslocamento é igual a 3,0 m, e o
ângulo que este deslocamento faz com a direção X é igual a 60o,
determinar as componentes deste vetor, dx e dy.
Substituindo em (2b):
dx = d cos = 3,0 cos 60o = 3,0 * 0,50
| dx = 1,5 m |
Substituindo em (2a):
dy = d sen = 3,0 sen 60o = 3,0 * 0,87
dy  2,6 m |
Movendo vetores
Quando vamos fazer a adição ou a diferença de dois vetores graficamente, precisamos mover o vetor tal que ele tenha sua origem coincidente com um novo ponto.
Vamos ver como se faz esta translação geometricamente.
Figura 1
(A) Os vetores deslocamento S1 e
S2.
(B) Movendo um vetor (S1).
Para colocar o comprimento do vetor na nova posição, pode-se usar um pedaço de papel ou um compasso para medir o comprimento na posição inicial e transportar esta medida para a nova posição. O erro é menor medindo-se desta forma do que com régua.
Figura 2
(A) Adição de dois vetores (triangulação).
(B) Diferença entre dois vetores (triangulação).
As fig. 2A e 2B mostram como se faz a adição e a diferença entre dois vetores S1 e S2 (fig. 1A), usando o método da triangulação.
A adição de dois vetores (fig. 2A) foi realizada movendo-se o vetor S2 tal que a
origem dele coincidisse com a extremidade de S1.
O vetor soma S1 + S2 é o vetor que fecha o triângulo,
cuja origem coincide com a origem do primeiro vetor e a extremidade coincide com a extremidade do
segundo vetor.
A diferença entre os dois vetores (S2 e S1) foi realizada
movendo-se o vetor S1 (fig. 2B), considerando o vetor oposto (- S1).
O vetor diferença S2 - S1 é o vetor que fecha o
triângulo, cuja origem coincide com a origem do vetor S2 e a extremidade coincide
com a extremidade do vetor - S1.
Se quisermos a diferença S1 - S2 , devemos mover o vetor S2, considerando o oposto dele (-S2).
Vetor velocidade
Sabemos que V =S/
Podemos determinar a direção e o sentido do vetor V determinando a diferença
entre dois vetores deslocamento graficamente, usando a regra do paralelogramo ou da
triangulação (fig. 2B). O módulo é determinando dividindo-se a medida do vetor
S por
t.
O vetor V tem a mesma direção e o mesmo sentido de
S; o módulo de V
é proporcional a S.
