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Experimento 4 - Movimento de Projéteis: Fundamentos Teóricos - Parte II

Equações / Projéteis

Até agora você aprendeu a analisar qualitativa e vetorialmente o lançamento de projéteis.

Que tal você agora aprender a calcular, por exemplo, o valor da velocidade inicial (V0) com que a bola deve ser chutada, sabendo que o ângulo que a bola faz inicialmente com a horizontal é de 45o, para que a bola atinja a linha de gol situada a 80m?

Para isto você tem que aprender as equações do movimento.

Vamos fazer uma análise quantitativa do movimento na horizontal e do movimento na vertical.

Movimento vertical (MUV) / Projéteis

Equação da velocidade / Equação horária

O movimento na vertical, sendo uniformemente variado, são válidas as equações horária e da velocidade do MUV para o lançamento de projéteis, fazendo a = -g nestas equações, obtém-se:

Vy = V0y - gt (4.6)

De (4.2b) vimos que:

V0y = V0 sen

Substituindo em (4.6):

Vy = V0 sen - gt

Equação da velocidade

(4.7)

A equação horária é obtida de forma análoga, resultando:

y = V0 (sen ) t - (gt2)/2

Equação horária / vertical

(4.8)

Altura máxima

Qual a altura máxima (H) que a bola atinge?

Quando a bola atinge a altura máxima, a componente vertical da velocidade Vy é nula. Substituindo na equação (4.7), Vy = 0, e resolvendo a equação para t:

t = (V0 sen )/g

Tempo que a bola leva para atingir a altura máxima

(4.9)

Substituindo t na equação (8), fazendo as simplificações algébricas e substituindo y = H, obtém-se:

H = (V02 sen2)/2g

Altura máxima

(4.10)


Movimento horizontal (MU) / Projéteis

Equação horária

O movimento na horizontal, sendo uniforme, a equação horária para o MU é:

x = Vx t

Sendo Vx = V0 cos (constante no movimento), substituindo na equação acima:

x = V0 (cos )t

Equação horária / Movimento horizontal

(4.11)

Alcance

Veja que ainda não resolvemos nosso problema, calcular o valor de V0, porque ainda não sabemos o tempo que a bola leva para atingir o solo.

Como a aceleração é constante, o tempo de subida é igual ao tempo de descida, duplicando o valor de t na equação (4.9) obtemos o tempo total para a bola atingir o solo:

ttotal = (2V0 sen )/g

Tempo que o projétil leva para atingir o chão

(4.12)

Substituindo (4.12) em (4.11), e sabendo que 2 sen cos = sen 2, obtém-se:

A = (V02sen 2)/g

Alcance do projétil

(4.12)

Aplicação numérica 1

Finalmente podemos calcular a velocidade inicial da bola, para que o jogador faça o gol. Lembre-se de que o ângulo inicial de lançamento é de 45o e a linha de gol está situada a 80m do ponto de lançamento (fig. 4.1).

Dados: A = 80m

= 45o

V0 = ?

g = 10,0 m/s2

Considerando a equação (4.13):

A = (V02 sen 2)/g

Substituindo os valores e resolvendo a expressão para V0, obtém-se:

V0 28,2 m/s

Alcance máximo

Você observou que o ângulo de lançamento, 45o, é o ângulo com o qual a bola atingiu alcance máximo? Por quê ?

Quando você substituiu os valores na equação (4.13) obteve sen 2 = 1, que é o valor máximo da função seno; portanto, o ângulo de lançamento, para se obter o alcance máximo, desprezando a resistência do ar, é igual a 45o.

Substituindo na expressão (4.13):

Amáximo = V02/g

Alcance máximo do projétil

(4.14)

Equação da trajetória

Estamos afirmando desde o início que a trajetória da bola é parabólica (fig. 4.1), mas ainda não provamos. Vamos finalizar a nossa análise quantitativa com esta demonstração.

Considerando a equação horária / horizontal (4.11) :

x = V0 (cos ) t

Resolvendo para t:

t = x /(V0 cos )

Substituindo t na equação horária / vertical (4.8):

y = V0 (sen ) t - (gt2)/2 y = V0 (sen ) x/(V0 cos ) - (gx2)/(2(V0 2 cos2))

Fazendo as simplicações algébricas e sabendo-se que sen /cos = tg , obtém-se:

y = (tg )x - (gx2) /(2 (V0 cos )2)

Equação da trajetória do projétil

(4.15)

Como (ângulo de lançamento), V0 e g são constantes, esta equação é da forma

y = bx - cx2,

que é a equação de uma parábola.

Conclusão:

A trajetória de um projétil é parabólica

.

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