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Experimento 7- Movimento Gravitacional: Fundamentos Teóricos

Figura 7.1 - Sistema Geocêntrico - órbitas dos
planetas circulares (modelo de Aristóteles e Ptolomeu).

O MOVIMENTO GRAVITACIONAL E AS LEIS DE KEPLER

Um pouco de história

Quem já não ficou olhando para o céu tentando desvendar o misterioso mundo dos astros?

Muitos fenômenos celestes exerciam uma forte influência nos povos mais antigos e até hoje exercem um fascínio sobre a gente.

Isso levou muitos astrônomos da Antigüidade a coletar inúmeros dados sobre o movimento dos astros, já que podia-se observar que muitos deles se moviam entre os demais.

Existem vários modelos que podemos citar sobre o movimento dos astros, tais como o Sistema de Ptolomeu (século II d.C.) e o modelo dos gregos (Aristóteles - século IV a.C.), que julgavam que os corpos celestes giravam em torno da Terra (Sistema Geocêntrico - Fig. 7.1).



O que mais nos interessa agora é o modelo de Copérnico (XVI). Nesse modelo denominado heliocêntrico, o Sol estaria em repouso e a Terra e os demais planetas girariam em torno dele em órbitas circulares. Anos depois foi provado por Kepler que estas órbitas eram elípticas. A fig. 7.2 mostra o Sistema Heliocêntrico nos dias de hoje com todos os planetas do sistema Solar.

As órbitas dos planetas são elipses de pequena excentricidade, praticamente circulares.

Figura 7.2 - Sistema heliocêntrico.

Observações:

No século XVII era uma heresia religiosa sugerir que os planetas giravam ao redor do Sol e não da Terra. Em 1600, Giordano Bruno, um defensor do sistema heliocêntrico de Copérnico e um religioso herético em geral, foi julgado pela Inquisição e queimado na fogueira.

Mesmo o grande Galileu, que era amigo do Papa, foi preso, julgado pela Inquisição, e obrigado a renunciar publicamente suas crenças.

Anos após a morte de Copérnico, Tycho Brahe, um astrônomo dinamarquês, com um observatório muito bem equipado, observou por cerca de 20 anos o movimento dos planetas.

Esses dados foram tabelados e foram a base do trabalho de Kepler (XVII), que era seu discípulo. Após a morte de Tycho Brahe, Kepler estudou os dados deixados por seu mestre durante 17 anos concebendo 3 leis sobre o movimento dos planetas, dando origem à Mecânica Celeste.

Leis de Kepler

1a Lei de Kepler: Qualquer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma forma elíptica da qual o Sol ocupa um dos focos (fig. 7.3).
Figura 7.3 - 1a Lei de Kepler - O Sol ocupa um dos focos da elipse e a órbita do planeta é elíptica.


2a Lei de Kepler: A reta que une um planeta ao Sol "varre" áreas iguais em tempos iguais (fig. 7.4).


Figura 7.4 - 2a Lei de Kepler - As áreas A1 e A2 são iguais.

Nestes desenhos exageramos a excentricidade das elipses para facilitar a compreensão.


Da fig. 7.4 você pode observar que:

Observação: A 2a Lei de Kepler é válida para qualquer movimento em que haja atuação de forças dirigidas para um único ponto. Assim, no movimento circular, por exemplo, vale a 2a Lei de Kepler.

3a Lei de Kepler: Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos dos raios de suas órbitas.

Expressão:

T2 / R3 = K (constante) (7.1)

Onde:

T: período de revolução do planeta

R: raio da órbita do planeta

A terceira lei de Kepler nos diz que quanto mais afastado estiver o planeta do Sol, maior o tempo que leva para dar uma volta completa (maior o período), e vice-versa.

Só para você ter uma idéia: "A Terra leva um ano para dar uma volta ao redor do Sol e o raio de sua órbita é igual á 1,000 u.a. (uma unidade astronômica), enquanto Plutão, que é o planeta mais afastado do Sol, leva 248 anos para dar uma volta completa e o raio da sua órbita é igual à 39,4 u.a."

Lei da Gravitação Universal

(Isaac Newton - sec XVII)

Mais tarde, Newton, apoiado nas idéias de Kepler, observou que os planetas deviam estar sujeitos a uma força centrípeta, pois não sendo assim, suas trajetórias não seriam curvas (fig. 7.5).

Logo Newton concluiu que essa força era devida à atração do Sol sobre os planetas, deduzindo as Leis de Kepler, que antes disso eram baseadas apenas em observações.

A Lei da Gravitação Universal é uma expressão matemática baseada na força de atração do Sol nos planetas cujo enunciado é:

"Dois corpos quaisquer se atraem com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles."

Expressão:

F = (Gm1m2) / d2 (7.2)

Onde:

F: força de atração

G: constante de gravitação universal

m1 e m2: massas dos corpos estudados

d: distância entre os corpos

Esta lei estabelece duas relações importantes:

  • Quanto maior a distância entre dois corpos, menor a força de atração, e vice-versa.
  • Quanto maior as massas dos corpos, maior a força de atração, e vice-versa.

  • Da fig. 5 temos que a força F1 de atração que o Sol exerce sobre o planeta é maior que F2 porque a distância que o planeta está do Sol na posição 1 é menor que a distância na posição 2.

    Figura 7.5- A força de atração F1
    é maior do que a força F2
    (Lei da Gravitação Universal - Newton).

    Pequena biografia dos mestres da astronomia

    Filósofo grego, Aristóteles nasceu em Estagir, Macedônia, em 384 a.C. Foi discípulo de Platão durante 20 anos, e após a morte deste, foi mestre de Alexandre, o Grande.

    O cosmos aristotélico é apresentado como um círculo gigantesco, porém finito, no qual se verifica uma rigorosa subordinação das novas esferas girando em torno da Terra, que se mantém imóvel no centro do sistema.

    Os corpos celestes não seriam formados por nenhum dos chamados quatro elementos transformáveis (terra, água, ar e fogo), mas por um elemento não transformável designado "quinta essência". Os movimentos circulares dos objetos celestes seriam, além de naturais, eternos.

    Ptolomeu viveu na Alexandria, observou milhares de estrelas e agrupou-as em 48 constelações conhecidas até hoje. é chamado "O Príncipe dos Astrônomos" e seu trabalho recebeu modificações feitas pelos europeus no séculos XVI.

    Nascido na Polônia, além de astrônomo e matemático, destacou-se também como sacerdote, médico, economista, jurista, administrador e diplomata. Parte de seus estudos foram feitos na Itália, onde aprendeu grego, podendo assim ler os originais das obras dos grandes astrônomos e filósofos da antigüidade. Apresentou sua teoria heliocêntrica, na qual sugere que a Terra gira em torno de si mesma e orbita ao redor do Sol: no livro "De Revolutionibus Orbium Coelestuim" - Sobre as Revoluções das Estrelas Celestes -, abrindo uma visão completamente nova do Universo. A obra só foi publicada em 1543, quando Copérnico já estava morto. Ganhou o título de Pai da Astronomia Moderna.

    Astrônomo alemão, publicou sua primeira obra, "Mysterium Cosmographicum", em 1596, na qual se manifesta pela primeira vez a favor da teoria heliocêntrica de Copérnico.

    Durante 17 anos analisou e pesquisou os dados deixados pelo grande astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, tendo conseguido descobrir as três leis do movimento dos planetas, que deram origem à mecânica celeste.

                   CuRioSiDaDeS !!!
    
    
    
    
    
    O Sol
    
    
    
     A luz do nosso astro-rei demora 8 min e 15 s para chegar até nós.
    
    
    
     A distância entre o Sol e a Terra é de 148,45 milhões de quilômetros.
    
    
    
     Sua massa é 334,672 vezes maior que massa da Terra, e ele é 109 vezes maior que ela.
    
    
    
     Na sua superfície a temperatura chega a 5500 oC.
    
      Calcula-se que no seu centro a temperatura chega a 15 milhões oC.
    
    
    
     Ele sempre nasce do lado leste.
    
    
    
    A Terra
    
    
    
     A massa do planeta é 5,9 sextilhões de toneladas!
    
    
    
    
     Distância média da Terra à Lua: 382.166 km.
    
    
    
    A Lua
    
    
    
     A lua é um satélite natural da Terra e é o astro mais próximo dela.
    
     Ela não tem brilho próprio. A luz que vemos é a do Sol refletida nela,
    
      luz que demora 1,25 segundos para chegar até a Terra.


    Se você gosta de astronomia e gostaria de saber mais, visite:
    Nasa
    Centro de Divulgação da Astronomia
    Os Nove Planetas
    Instituto Astronômico e Geofísico
    Laboratório Nacional de Astrofísica
    Centro de Estudos Astronômicos de Alagoas
    Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais


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