Experimento 7 - Movimento Gravitacional:
Simulação em Logo
Introdução
Sistema de Unidades Planetárias
Para fazermos a simulação de movimentos em linguagem LOGO,
necessitaríamos trabalhar com grandezas como massa da Terra, massa
da Lua, distância entre a Terra e a Lua, e outras que apresentam
valores muito elevados. é conveniente usar um novo sistema de unidades
para evitar estes números grandes na resolução de
problemas gravitacionais. Este novo sistema é denominado Sistema
de Unidades Planetárias (Huggins, E. 1979).
Neste sistema, a unidade padrão de massa é a massa da
Terra; o raio da Terra é a unidade padrão de comprimento,
e a hora, unidade padrão de tempo.
| SISTEMA DE UNIDADES PLANETÁRIAS |
|
Massa da Terra (MTerra)
|
|
1
|
|
Raio da Terra (RTerra)
|
|
1
|
|
hora (h)
|
|
1
|
A unidade de medida de velocidade neste sistema é raio Terra
/ hora.
As vantagens de se usar este sistema são:
-
Para um satélite girando ao redor da Terra nós colocamos
MTerra = 1 na expressão da Lei da Gravitação
Universal.
-
Nós sabemos imediatamente que se um satélite está
a uma distância menor que a unidade do centro da Terra, ele se choca
com a Terra.
-
O período de uma órbita é convenientemente expresso
em horas, sendo o período mais curto 1,5 h.
-
As velocidades típicas de um satélite variam de 1 a 10 raios
Terra / hora.
-
A velocidade de 1 raio Terra / hora é igual a aproximadamente 1,76
km / s.
Exemplo:
Vsatélite = 5,68 km/s = 5,68/1,76 = 3,22 raio Terra
/ hora
Os valores de G (constante gravitacional) e g (aceleração
da gravidade) são numericamente iguais neste sistema e valem 19,9
unidades planetárias(1).
Cálculo da órbita
do satélite
Vamos mostrar quais as expressões envolvidas no cálculo
da órbita do satélite que serão utilizadas no programa
de simulação do movimento gravitacional em Linguagem LOGO.
Sabemos que, pela Lei da Gravitação Universal de Newton,
a força de atração gravitacional entre o satélite
e a Terra (FTS), por exemplo, é dada pela expressão:
|
FTS = (G MT mS) / RTS2
|
(7.3) |
onde:
G  constante
de gravitação universal
MT massa
da Terra
ms massa
do satélite
RTS distância
entre o satélite e o centro da Terra
Figura 7.7 - Vetores força, posição, aceleração
e velocidade envolvidos no cálculo da órbita do satélite.
Esta força (FTS), fig.7.7, pela 2a Lei
de Newton, é dada pela expressão:
aS aceleração
do satélite
Igualando as expressões (7.3) e (7.4), temos:
mS aS = (G MT mS) / RTS2
Simplificando e resolvendo para aS, obtemos:
Observe que quando RST
0, aS
infinito, fazendo com que a aceleração do satélite
aumente rapidamente, e que este percorra uma distância grande em
um pequeno intervalo de tempo.
Da fig. 7.7 temos, aplicando o teorema de Pitágoras para calcular
a intensidade do vetor posição RTS:
Observação: Como vamos usar
o Sistema de Unidades Planetárias, onde RT = 1, temos
que considerar RTS > 1 senão o satélite choca-se
com a Terra. Para os valores iniciais de x e y a serem estabelecidos no
programa Logo tem que considerar esta condição para o raio
da órbita.
Exemplo: Considerando
os valores de x e y, respectivamente 0 e -2, o valor inicial de RTS
calculado pela expressão (7.6) será igual a 2 unidades planetárias.
Já vimos que a aceleração do satélite é
dada pela expressão (7.5):
aS = G MT / RTS2
No Sistema de Unidades Planetárias, sendo os valores de MT
= 1 e G = 19,9, obtemos:
A aceleração as tem as componentes:
|
ax = ascos = as x / R TS
ay = assen = as y / R TS
|
(7.8) |
As componentes da velocidade do satélite, Vs, são
calculadas usando a equação da velocidade:
|
Vx = Vx(antes) + ax t
Vy = Vy(antes) + ayt
|
(7.9) |
Os valores de x e y são calculados para cada t,
através dos valores de Vx e Vy já calculados
através de (7):
|
x(depois) = x(antes) + Vxt
y(depois) = y(antes) + Vyt
|
(7.10) |
Observação: O valor de t
que será considerado no programa em Logo (dt) será da ordem
de 1/100 da hora, para obter uma órbita elíptica.
Serão usadas as expressões 7.6, 7.7, 7.8, 7.9 e 7.10 no
programa de simulação do movimento gravitacional em linguagem
LOGO. Você vai dar o algorítmo, escrevendo na primeira coluna
todos os passos dados no programa e nós damos o programa.
Escreva o algoritmo nas caixas de texto e nos envie.
Depois de você fizer o programa, use vx = 0 e vy considerando
os valores variando de 2.6 a 4.3 para rodá-lo. Tente usar outros
valores para x, vx, vy e dt, e veja o que acontece.
Uma pequena variação no expoente de R produz uma modificação
significativa na órbita do satélite. Teste para você
verificar. Por exemplo, dê valores 1.9 ou 2.1 para o expoente de
R na equação "a 19.9 / (power :r 2).
Invente outros valores para o expoente e veja o que acontece.
Quaisquer dúvidas, mande um e-mail para nós, preencha
o formulário abaixo e mande o arquivo com seu programa para que
possamos comentá-lo e/ou resolver suas dúvidas.
Mesmo que não haja problemas, mande-nos seu programa para vermos
seu aproveitamento.
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