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Erros e Medidas - Algarismos significativos


- Introdução

Quando realizamos uma medida precisamos estabelecer a confiança que o valor encontrado para a medida representa.

Medir é um ato de comparar e esta comparação envolve erros dos instrumentos, do operador, do processo de medida e outros.

Podemos ter erros sistemáticos que ocorrem quando há falhas no método empregado, defeito dos instrumentos, etc... e erros acidentais que ocorrem quando há imperícia do operador, erro de leitura em uma escala, erro que se comete na avaliação da menor divisão da escala utilizada etc...

Em qualquer situação deve-se adotar um valor que melhor represente a grandeza e uma margem de erro dentro da qual deve estar compreendido o valor real.

Vamos aprender como determinar esse valor e o seu respectivo desvio ou erro.

- Valor médio - Desvio médio

Quando você realiza uma medida e vai estimar o valor situado entre as duas menores divisões do seu aparelho de medida, você pode obter diferentes valores para uma mesma medida.

Como exemplo, vamos medir o espaço (S) percorrido pelo PUCK utilizando uma régua milimetrada (a menor divisão é 1 mm).


Fig 1 - Medindo com uma régua milimetrada o espaço S.

Você observa que o valor de S ficou situado entre 5,80 e 5,90. Vamos supor que mentalmente você tenha dividido esse intervalo em 10 partes iguais e fez cinco medidas obtendo os valores de S apresentados na tabela 1.

N SN (cm) (S) (cm)
1 5,82 0,01
2 5,83 0,00
3 5,85 0,02
4 5,81 0,02
5 5,86 0,03
N=5 SN = 29,17 N= 0,08

Tab.1 - Valores obtidos para S e os respectivos desvios (S).

De acordo com o postulado de Gauss:

"O valor mais provável que uma série de medidas de igual confiança nos permite atribuir a uma grandeza é a média aritmética dos valores individuais da série".

Fazendo a média aritmética dos valores encontrados temos o valor médio, ou seja, o valor mais provável de S como sendo:

Valor médio de S = (5,82 + 5,83 + 5,85 + 5,81 + 5,86) / 5 = 5,83 cm.

O erro absoluto ou desvio absoluto (A) de uma medida é calculado como sendo a diferença entre valor experimental ou medido e o valor adotado que no caso é o valor médio:

A = | valor adotado - valor experimental | (1)

Calculando os desvios, obtemos:

1 = | 5,83 - 5,82 | = 0,01

2 = | 5,83 - 5,83 | = 0,00

3 = | 5,83 - 5,85 | = 0,02

4 = | 5,83 - 5,81 | = 0,02

5 = | 5,83 - 5,86 | = 0,03

O desvio médio de S será dado pela média aritmética dos desvios:

médioS = (0.01 + 0,00 + 0,02 + 0,02 + 0,03) / 5 = 0,02

O valor medido de S mais provável, portanto, será dado como:

S = Smédio ± médioS (2)

S = 5,83 ± 0,02

Quando é realizada uma única medida, você considera desvio a metade da menor divisão do aparelho de medida. No caso da régua esse desvio é 0,05 cm. Uma única medida seria representada como:

S = 5.81 ± 0,05 cm

- Erro ou desvio relativo

Vamos supor que você tenha medido o espaço compreendido entre dois pontos igual a 49,0 cm, sendo que o valor verdadeiro era igual a 50,00 cm. Com a mesma régua você mediu o espaço entre dois pontos igual a 9,00 cm, sendo que o valor verdadeiro era igual a 10,00 cm. Os erros absolutos cometidos nas duas medidas foram iguais:

absoluto 1 S= | 50,00 - 49,00 | = 1,00 cm

absoluto 2 S = | 10,00 - 9,00 | = 1,00 cm

Apesar de os erros ou desvios absolutos serem iguais, você observa que a medida 1 apresenta erro menor que a medida 2. Neste caso o erro ou desvio relativo é a razão entre o desvio absoluto e o valor verdadeiro.

Desvio relativo = desvio absoluto / valor verdadeiro.

Exemplo:

relativo1 S= 1 cm / 50 cm = 0,02

relativo2 S= 1 cm / 10 cm = 0,1

Isso nos mostra que a medida 1 apresenta erro 5 vezes menor que a medida 2. Os desvios relativos são geralmente representados em porcentagem, bastando multiplicar por 100 os desvios relativos encontrados anteriormente, obtendo:

relativo1 S = 2 %

relativo2 S = 10 %

Concluímos que o erro ou desvio relativo de uma medida de qualquer grandeza é um número puro, independente da unidade utilizada. Os erros relativos são de importância fundamental em tecnologia.

- Propagação de erros

Para obtermos a densidade de um corpo temos que medir a massa do corpo e o volume. A densidade é obtida indiretamente pelo quociente entre a massa e o volume:

d = m / V

Como as grandezas medidas, massa e volume, são afetadas por desvios, a grandeza densidade também será. Para a determinação dos desvios correspondentes às grandezas que são obtidas indiretamente, deve-se investigar como os desvios se propagam através das operações aritméticas:

  • Soma e subtração
  • Na soma e subtração os desvios se somam, idependentemente do sinal.

    S = S1 + S2 + S3 + ... + Sn (3)

    Vamos provar para dois desvios que por indução fica provado para n desvios.
    Considerando as medidas S1 ± S1 e S2 ± S2, fazemos a soma:

    S1 ± S1 + S2 ± S2 = (S1 +S2 ) ± (S1 + S2 )

    Portanto na soma, os desvios se somam.

  • Multiplicação e divisão
  • Na multiplicação e divisão os desvios relativos se somam.

    S / S = S 1 / S1 + S2 / S2 + S3 / S3 + ... + Sn / Sn (4)

    Provando novamente para dois desvios ficará provado para n desvios.
    Fazendo a multiplicação:

    (S1 ± S1 ). (S2 ± S2 )= S1 S2 ± S1 S2 ± S2 S1 ± S1 S2

    Desprezando-se a parcela S1 S2 (que é um número muito pequeno) e colocando S1 S2 em evidência, obtemos:

    (S1 ± S1 ). (S2 ± S2 )= S1 S2 ± (S1 / S1 + S2 / S2)

    Portanto na multiplicação, os desvios relativos se somam.

    - Algarismos significativos

    Quando você realizou as medidas com a régua milimetrada (fig.1) do espaço S, você colocou duas casas decimais. é correto o que você fez?
    Sim, porque você considerou os algarismos significativos.

    O que são os algarismos significativos?
    Quando você mediu o valor de S = 5,81 cm com a régua milimetrada você teve certeza sobre os algarismos 5 e 8, que são os algarismos corretos (divisões inteiras da régua), sendo o algarismo 1 avaliado denominado duvidoso.
    Consideramos algarismos significativos de uma medida os algarismos corretos mais o primeiro duvidoso.

    Algarismos significativos = algarismos corretos + primeiro algarismo duvidoso.
    5,81 5,8 1

    Sempre que apresentamos o resultado de uma medida, este será representado pelos algarismos significativos.
    Veja que as duas medidas 5,81cm e 5,83m não são fundamentalmente diferentes, porque diferem apenas no algarismo duvidoso.

    Observação:
    Para as medidas de espaço obtidas a partir da trajetória do PUCK serão considerados apenas os algarismos corretos: não há necessidade de considerar o algarismo duvidoso já que não estamos calculando os desvios.
    Os zeros à esquerda não são considerados algarismos significativos com no exemplo:

    0,000123 contém apenas três algarismos significativos.

    - Operações com algarismos significativos

    Há regras para operar com algarismos significativos. Se estas regras não forem obedecidas você pode obter resultados que podem conter algarismos que não são significativos.

  • Adição e subtração
  • Vamos supor que você queira fazer a seguinte adição:

    250,657 + 0,0648 + 53,6 =

    Para tal veja qual parcela apresenta o menor número de algarismos significativos. No caso 53,6 que apresenta apenas uma casa decimal. Esta parcela será mantida e as demais serão aproximadas para uma casa decimal.
    Você tem que observar as regras de arredondamento que resumidamente são:

    Ao abandonarmos algarismos em um número, o último algarismo mantido será acrescido de uma unidade se o primeiro algarismo abandonado for superior a 5; quando o primeiro algarismo abandonado for inferior a 5, o último algarismo permanece invariável, e quando o primeiro algarismo abandonado for exatamente igual a 5, é indiferente acrescentar ou não uma unidade ao último algarismo mantido.

    No nosso exemplo teremos as seguinte aproximações:

    250,657 250,6

    0,0648 0,1

    Adicionando os números aproximados, teremos:

    250,6 + 0,1 + 53,6 = 304,3 cm

    Na subtração, você faz o mesmo procedimento.

  • Multiplicação e divisão
  • Vamos multiplicar 6,78 por 3,5 normalmente:

    6,78 x 3,5 = 23,73

    Aparece no produto algarismos que não são significativos.
    A seguinte regra é adotada:
    Verificar qual o fator que apresenta o menor número de algarismos significativos e apresentar no resultado apenas a quantidade de algarismo igual a deste fator, observando as regras de arredondamento.

    6,78 x 3,5 = 23,7

    Para a divisão o procedimento é análogo.

    Observação: As regras para operar com algarismos significativos não são rígidas. Poderia ser mantido perfeitamente um algarismo a mais no produto. Os dois resultados são aceitáveis:

    6,78 x 3,5 = 23,73 ou 6,78 x 3,5 = 23,7.


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