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Experimento 5 - Movimento Circular: Fundamentos Teóricos

Conceito de movimento circular uniforme

Vamos afirmar que: "Um carro estando com a velocidade escalar constante pode ter aceleração". O que você acha?

Esta afirmativa parece falsa, mas é verdadeira.

Esta situação acontece quando o carro está se movimentando em uma trajetória circular (fig. 5.1A).


Figura 5.1A - Carro em movimento circular.


Figura 5.1B - Vetores força centrípeta e aceleração centrípeta.

Neste caso o vetor velocidade varia de direção e sentido no decorrer do tempo, podendo o seu módulo permanecer constante ou não.

Quem provoca esta variação na direção do vetor velocidade?

Sabemos que para mudar qualquer característica do vetor velocidade é necessária uma força .

Esta força, denominada força centrípeta, atua na direção do raio da circunferência, buscando o centro, imprimindo ao carro uma aceleração na mesma direção e no mesmo sentido denominada aceleração centrípeta (fig. 5.1B).

No caso do carro, a força centrípeta é a força de atrito entre os pneus e a estrada. Se não existisse esta força, o carro sairia pela tangente em movimento retilíneo uniforme (posição 4 da fig. 5.1A).

Veja que esta aceleração é devida à variação à direção do vetor velocidade e não da variação do módulo do vetor velocidade.

Concluímos que a nossa afirmativa inicial é verdadeira, isto é, o carro pode estar com velocidade escalar constante e possuir uma aceleração (aceleração centrípeta), quando sua trajetória é circular.


Movimento circular uniforme: Quando a trajetória é circular e a velocidade é constante em módulo.

Da fig. 5.1A, o carro estando em movimento circular uniforme, temos que:

V1 = V2 = V3 = V4 (velocidades escalares iguais)

V1 V2 V3 V4 (velocidades vetoriais diferentes)

Características do vetor aceleração centrípeta

Notação: ac vetor aceleração centrípeta

Direção do vetor aceleração centrípeta: a direção do raio (perpendicular ao vetor V)

Sentido do vetor aceleração centrípeta: de fora para dentro da circunferência (buscando o centro)

Módulo do vetor aceleração centrípeta: ac = V2/R

Demonstração da expressão ac = V2/R

Figura 5.2
(A) - Movimento circular uniforme de uma partícula indo de uma posição A B. VA = VB.
(B) - Determinação do vetor diferença V.
(C)
- Medida do arco S = V t.

Os triângulos POQ e ACB são semelhantes porque são isósceles, tendo os ângulos dos vértices iguais. Considerando a medida do arco Vt aproximadamente igual à medida do arco corda AB, obtemos:

(Vt) / V = R / V

Aproximadamente, temos:

V / t = V2 / R

Esta relação será mais exata quanto menor for t, porque o arco tende para a corda e vice-versa.

Considerando t 0, no limite obtemos:

ac = V2/R

módulo do vetor aceleração centrípeta

(5.1)

Observação: Quando a velocidade escalar varia no decorrer do tempo, o movimento circular não é mais uniforme e o movimento tem, além da aceleração centrípeta, uma aceleração tangencial.


Aplicação numérica 5.1

Vamos determinar o valor da aceleração centrípeta, sabendo que o carro faz a trajetória circular com uma velocidade escalar constante igual 20,0 m/s e o raio da trajetória é igual a 100 m.

Dados: V = 20,0 m/s e R = 100 m

De (5.1) temos que:

ac = V2/R

Substituindo os valores de V e R, obtemos:

ac = 20,02/100 = 400/100

ac = 4,0 m/s2

Conceito de velocidade angular

A posição de um ponto em uma trajetória circular pode ser determinada por um espaço linear (arco) ou por um espaço angular (ângulo).

Quando o carro vai da posição A para a posição B, ele percorre um arco S e, simultaneamente, "varre" um ângulo (fig. 5.3).

Figura 5.3 - ângulo descrito e arco percorrido em um intervalo de tempo (t), quando o carro vai da posição A para B.

Velocidade angular é o ângulo ( ) percorrido em um intervalo de tempo (t).

Notação: velocidade angular.

Expressão:

= ( ) / (t)

velocidade angular

(5.2)

onde (ângulo descrito) é medido em radianos.

Unidade da velocidade angular (Sistema Internacional) 1 rad/s

Relação entre a velocidade escalar e a velocidade angular

Você sabe que a medida de um ângulo pode ser em graus ou radianos.

Figura 5.4 - Medida de um ângulo em radianos.

Para medir um ângulo em radianos (rad) basta dividir o arco compreendido entre os lados do ângulo pela medida do raio (fig. 5.4), obtendo:

() = ( S) / R (5.3)

Dividindo os dois membros de (5.3) por t, obtemos:

()/ t = ( S) / (R t) (5.4)

Como = () / (t) e V = (S) / (t), substituindo em (5.4), obtemos:

= V/R (5.5)

ou

V = .R

relação entre a velocidade escalar e a velocidade angular

(5.6)

Observação: para determinar a medida de 1 rad basta considerar a medida do arco compreendido entre os lados do ângulo igual à medida do raio (fig. 5.4), obtendo:

1 rad 57,3o


Aplicação numérica 5.2

Um carro com a velocidade escalar constante de 30,0 m/s faz uma trajetória circular de raio 100 m. Determinar a velocidade angular.

Dados: V = 30,0 m/s e R = 100 m

De (5.5) temos que:

= V/R = 30,0/100

= 0,3 rad / s

Relação entre aceleração centrípeta e velocidade angular

De (5.1) temos que:

ac = V2/R

Como V = R (5.6), obtemos:

ac = 2 R

relação entre a aceleração centrípeta e a velocidade angular

(5.7)


Freqüência e Período

De um modo geral todos nós temos noção do que seja freqüência e período.

Freqüência seria o número de vezes que um fenômeno se repete em um determinado tempo, e período é o tempo que leva para o fenômeno se repetir.

Em linguagem mais específica para o movimento circular, definiremos:

Freqüência: é o número de voltas que a partícula dá por unidade de tempo

Notação: f freqüência

Período: é o tempo que a partícula leva para dar uma volta completa

Notação: T período

Pelas próprias definições temos que a freqüência é o inverso do período e vice-versa, ou seja:

f = 1/T ou T = 1/f
(5.8)

Unidades de medida de freqüência e período (SI)

Unidade de período = unidade de tempo = 1 s

Outras unidades: 1 min, 1 h, 1 mês, 1 ano, 1 século...

Unidade de freqüência = 1/unidade de tempo = 1/s = 1 s-1 = 1 hertz (1 Hz)

Quando no movimento circular se tem uma freqüência de 10 Hz, significa que o móvel faz 10 voltas em cada segundo.

Observação: a unidade de freqüência 1rps (1 rotação por segundo), usada na prática, é equivalente a 1 Hz.

Relação entre a velocidade angular e a freqüência

Vimos que a velocidade angular é definida como sendo:

= ( ) / (t) (5.2)

Quando a partícula dá uma volta completa:

= 2 rad

t = T (período)

Substituindo em (5.2), obtemos:

= (2 )/T (5.9)

Como f = 1/T, substituindo em (5.9):

= 2 f

relação entre a velocidade angular e a freqüência

(5.10)


Aplicação numérica 5.3

Determinar o período de revolução, a freqüência e a velocidade angular de um satélite que se desloca numa órbita circular com uma velocidade escalar constante igual 8,0 km/s, ao redor da Terra. Considere o raio da Terra igual a 6370 km.

Dados: V = 8,0 km/s e R = 6370 km.

= V/R = 8,0 / 6370 = 0,0012

1,2 * 10-3 rad/s

De (9) temos que:

= (2 ) / T

T = 2 / 2* 3,14 / (1,2 * 10-3)

T 5233 s

f = 1/T = 1 / 5233

f 0,19 Hz

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